数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 3$ および漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + n^2 + 2n$ で定義されている。 $b_n = a_{n+1} - a_n$ とおくと、数列 $\{b_n\}$ はある漸化式を満たす。 $c_n = b_{n+1} - b_n$ とおくと、数列 $\{c_n\}$ はある漸化式を満たす。 空欄を埋めて、数列 $\{b_n\}$、$\{c_n\}$、$\{a_n\}$ の一般項を求める問題。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 3$ および漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + n^2 + 2n$ で定義されている。

$b_n = a_{n+1} - a_n$ とおくと、数列 $\{b_n\}$ はある漸化式を満たす。

$c_n = b_{n+1} - b_n$ とおくと、数列 $\{c_n\}$ はある漸化式を満たす。

空欄を埋めて、数列 $\{b_n\}$、$\{c_n\}$、$\{a_n\}$ の一般項を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$b_n = a_{n+1} - a_n$ より、$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1}$ である。

$a_{n+2} = 3a_{n+1} + (n+1)^2 + 2(n+1)$ であるから、

$b_{n+1} = 3a_{n+1} + (n+1)^2 + 2(n+1) - a_{n+1} = 2a_{n+1} + n^2 + 4n + 3$

一方、$a_{n+1} = b_n + a_n$ より、$a_{n+1} = 3a_n + n^2 + 2n$ なので、

$b_{n+1} = 2(3a_n + n^2 + 2n) + n^2 + 4n + 3 = 6a_n + 3n^2 + 8n + 3$

$a_{n+1} = 3a_n + n^2 + 2n$ から、$a_{n+1} - a_n = 3a_n - a_n + n^2 + 2n$ より、

$b_n = 2a_n + n^2 + 2n$

$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1} = 3a_{n+1} + (n+1)^2 + 2(n+1) - a_{n+1} = 2a_{n+1} + (n+1)^2 + 2(n+1)$

$= 2(3a_n + n^2 + 2n) + n^2 + 2n + 1 + 2n + 2 = 6a_n + 3n^2 + 8n + 3$

$b_{n+1} = 3(2a_n) + 3n^2 + 8n + 3 = 3(b_n - n^2 - 2n) + 3n^2 + 8n + 3 = 3b_n + 2n + 3$

$b_{n+1} = 3b_n + 2n + 3$

したがって、$b_1 = a_2 - a_1 = (3a_1 + 1^2 + 2(1)) - a_1 = 2a_1 + 3 = 2(3) + 3 = 9$

$c_n = b_{n+1} - b_n$ より、$c_{n+1} = b_{n+2} - b_{n+1}$

$b_{n+1} = 3b_n + 2n + 3$ より、$b_{n+2} = 3b_{n+1} + 2(n+1) + 3$

$c_{n+1} = 3b_{n+1} + 2n + 5 - b_{n+1} = 2b_{n+1} + 2n + 5$

$c_{n+1} = b_{n+2} - b_{n+1} = 3b_{n+1} + 2n + 5 - (3b_n + 2n + 3) = 3(b_{n+1} - b_n) + 2 = 3c_n + 2$

$c_1 = b_2 - b_1 = (3b_1 + 2(1) + 3) - b_1 = 2b_1 + 5 = 2(9) + 5 = 23$

$c_{n+1} = 3c_n + 2$

$c_{n+1} + 1 = 3(c_n + 1)$

$d_n = c_n + 1$ とおくと、$d_{n+1} = 3d_n$ より、$\{d_n\}$ は公比3の等比数列。

$d_1 = c_1 + 1 = 23 + 1 = 24$

したがって、$d_n = 24 \cdot 3^{n-1} = 8 \cdot 3^{n}$

$c_n = d_n - 1 = 8 \cdot 3^n - 1$

$c_n = b_{n+1} - b_n$ より、$b_{n+1} - b_n = 8 \cdot 3^n - 1$

$b_n$ の階差数列がわかったので、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (8 \cdot 3^k - 1) = 9 + 8 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} - (n-1)$

$= 9 + 4 \cdot 3(3^{n-1} - 1) - n + 1 = 9 + 4(3^n - 3) - n + 1 = 9 + 4 \cdot 3^n - 12 - n + 1 = 4 \cdot 3^n - n - 2$

$b_n = a_{n+1} - a_n$ より、$a_{n+1} = a_n + b_n = a_n + 4 \cdot 3^n - n - 2$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4 \cdot 3^k - k - 2) = 3 + 4 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} - \frac{(n-1)n}{2} - 2(n-1)$

$= 3 + 6(3^{n-1} - 1) - \frac{n^2 - n}{2} - 2n + 2 = 3 + 2 \cdot 3^n - 6 - \frac{n^2 - n}{2} - 2n + 2 = 2 \cdot 3^n - 1 - \frac{n^2 - n}{2} - 2n = 2 \cdot 3^n - \frac{1}{2} n^2 - \frac{3}{2}n - 1$

$a_n = 2 \cdot 3^n - \frac{n^2 + 3n + 2}{2} = 2 \cdot 3^n - \frac{(n+1)(n+2)}{2}$

3. 最終的な答え

1: $2n+3$

2: $2$

3: $23$

4: $8 \cdot 3^n - 1$

5: $4 \cdot 3^n - n - 2$

6: $2 \cdot 3^n - \frac{(n+1)(n+2)}{2}$