不等式 $\log_3(x-2) < 1$ の解を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $\log_3(x-2) < 1$ の解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の真数条件より、$x-2 > 0$ である必要があります。

したがって、$x > 2$ が成り立ちます。

次に、不等式 $\log_3(x-2) < 1$ を解きます。

$1$ は $\log_3 3$ と書き換えられるので、

$\log_3(x-2) < \log_3 3$

となります。底が3で1より大きいので、真数部分の大小関係も不等号の向きは変わりません。

したがって、

$x-2 < 3$

$x < 5$

となります。

真数条件 $x > 2$ と、$x < 5$ を満たす $x$ の範囲を求めると、

$2 < x < 5$

となります。

3. 最終的な答え

$2 < x < 5$