空欄に当てはまる式を求める問題です。問題文は以下の通りです。 $(\boxed{\phantom{空白}}) \times \frac{1}{5}x^3y^2 \div (-\frac{5}{2}xy^3)^2 = \frac{15}{2x^3y^2}$

1. 問題の内容

空欄に当てはまる式を求める問題です。問題文は以下の通りです。

$(\boxed{\phantom{空白}}) \times \frac{1}{5}x^3y^2 \div (-\frac{5}{2}xy^3)^2 = \frac{15}{2x^3y^2}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$(\boxed{\phantom{空白}}) \times \frac{1}{5}x^3y^2 \div (-\frac{5}{2}xy^3)^2 = \frac{15}{2x^3y^2}$

$(-\frac{5}{2}xy^3)^2$を計算します。

$(-\frac{5}{2}xy^3)^2 = \frac{25}{4}x^2y^6$

与えられた式は以下のようになります。

$(\boxed{\phantom{空白}}) \times \frac{1}{5}x^3y^2 \div \frac{25}{4}x^2y^6 = \frac{15}{2x^3y^2}$

割り算を掛け算に変換します。

$(\boxed{\phantom{空白}}) \times \frac{1}{5}x^3y^2 \times \frac{4}{25x^2y^6} = \frac{15}{2x^3y^2}$

左辺の$\frac{1}{5}x^3y^2 \times \frac{4}{25x^2y^6}$を計算します。

$\frac{1}{5}x^3y^2 \times \frac{4}{25x^2y^6} = \frac{4x^3y^2}{125x^2y^6} = \frac{4x}{125y^4}$

すると式は以下のようになります。

$(\boxed{\phantom{空白}}) \times \frac{4x}{125y^4} = \frac{15}{2x^3y^2}$

求める式を$A$と置くと、

$A \times \frac{4x}{125y^4} = \frac{15}{2x^3y^2}$

$A = \frac{15}{2x^3y^2} \div \frac{4x}{125y^4} = \frac{15}{2x^3y^2} \times \frac{125y^4}{4x} = \frac{15 \times 125y^4}{2 \times 4 x^4y^2}$

$A = \frac{1875y^2}{8x^4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1875y^2}{8x^4}$