次の式を展開せよ。 (1) $(a+2b+3)(a+2b-3)$ (2) $(3x-2y-1)(3x-2y+1)$ (3) $(a-b+4)(a-b+2)$ (4) $(2x+3y-3)(2x+3y+6)$

1. 問題の内容

次の式を展開せよ。

(1) $(a+2b+3)(a+2b-3)$

(2) $(3x-2y-1)(3x-2y+1)$

(3) $(a-b+4)(a-b+2)$

(4) $(2x+3y-3)(2x+3y+6)$

2. 解き方の手順

(1) 和と差の積の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用する。$A = a+2b, B = 3$ とすると、

$(a+2b+3)(a+2b-3) = (a+2b)^2 - 3^2$

$= (a^2 + 4ab + 4b^2) - 9$

$= a^2 + 4ab + 4b^2 - 9$

(2) 和と差の積の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用する。$A = 3x-2y, B = 1$ とすると、

$(3x-2y-1)(3x-2y+1) = (3x-2y)^2 - 1^2$

$= (9x^2 - 12xy + 4y^2) - 1$

$= 9x^2 - 12xy + 4y^2 - 1$

(3) $A = a-b$ と置き換えると、

$(a-b+4)(a-b+2) = (A+4)(A+2)$

$= A^2 + 6A + 8$

$= (a-b)^2 + 6(a-b) + 8$

$= a^2 - 2ab + b^2 + 6a - 6b + 8$

(4) $A = 2x+3y$ と置き換えると、

$(2x+3y-3)(2x+3y+6) = (A-3)(A+6)$

$= A^2 + 3A - 18$

$= (2x+3y)^2 + 3(2x+3y) - 18$

$= (4x^2 + 12xy + 9y^2) + (6x + 9y) - 18$

$= 4x^2 + 12xy + 9y^2 + 6x + 9y - 18$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 + 4ab + 4b^2 - 9$

(2) $9x^2 - 12xy + 4y^2 - 1$

(3) $a^2 - 2ab + b^2 + 6a - 6b + 8$

(4) $4x^2 + 12xy + 9y^2 + 6x + 9y - 18$