数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ および $na_{n+1} = (n+1)a_n$ という漸化式で定義されているとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ および $na_{n+1} = (n+1)a_n$ という漸化式で定義されているとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 $na_{n+1} = (n+1)a_n$ を変形します。両辺を $n(n+1)$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{a_n}{n}$

となります。ここで、$b_n = \frac{a_n}{n}$ とおくと、$b_{n+1} = b_n$ となります。これは、数列 $\{b_n\}$ が定数数列であることを意味します。

したがって、$b_n = b_1$ です。$b_1 = \frac{a_1}{1} = \frac{1}{1} = 1$ より、$b_n = 1$ がすべての $n$ に対して成り立ちます。

よって、$\frac{a_n}{n} = 1$ なので、$a_n = n$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = n$