問題は2つあります。 一つ目の問題(Report 3)は、図示されたベクトル $a$, $b$, $c$ を成分で表し、与えられたベクトル演算の結果を成分で計算し、図示することです。 二つ目の問題(Report 4)は、ベクトル $a = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$, $c = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、指定された計算を行うことです。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

一つ目の問題(Report 3)は、図示されたベクトル $a$, $b$, $c$ を成分で表し、与えられたベクトル演算の結果を成分で計算し、図示することです。

二つ目の問題(Report 4)は、ベクトル $a = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$, $c = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、指定された計算を行うことです。

2. 解き方の手順

Report 4に関する解き方を示します。

(1) $|b|$ を計算します。ベクトルの大きさは各成分の2乗の和の平方根です。

(2) $|c|$ を計算します。ベクトルの大きさは各成分の2乗の和の平方根です。

(3) $3a+2b$ を計算します。ベクトルをスカラー倍し、ベクトル同士を足し合わせます。

(4) $\frac{1}{3}b-2c$ を計算します。ベクトルをスカラー倍し、ベクトル同士を足し合わせます。

(5) $4a-b+2c$ を計算します。ベクトルをスカラー倍し、ベクトル同士を足し合わせます。

(6) $|3a+2c|$ を計算します。まず $3a+2c$ を計算し、そのベクトルの大きさを計算します。

(7) $a \cdot b$ を計算します。ベクトルの内積は各成分の積の和です。

(8) $c \cdot b$ を計算します。ベクトルの内積は各成分の積の和です。

(9) $(b+c) \cdot a$ を計算します。まず $b+c$ を計算し、その結果と $a$ の内積を計算します。

(10) $(a+c) \cdot (c-a)$ を計算します。まず $a+c$ と $c-a$ を計算し、その結果の内積を計算します。

3. 最終的な答え

Report 4 の解答：

(1) $|b| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

(2) $|c| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

(3) $3a + 2b = 3\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \end{pmatrix}$

(4) $\frac{1}{3}b - 2c = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix}$

(5) $4a - b + 2c = 4\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -15 \end{pmatrix}$

(6) $3a+2c = 3\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -11 \end{pmatrix}$.

$|3a+2c| = \sqrt{0^2 + (-11)^2} = \sqrt{121} = 11$

(7) $a \cdot b = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = (2)(3) + (-1)(3) = 6 - 3 = 3$

(8) $c \cdot b = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = (-3)(3) + (-4)(3) = -9 - 12 = -21$

(9) $b+c = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$.

$(b+c) \cdot a = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = (0)(2) + (-1)(-1) = 0 + 1 = 1$

(10) $a+c = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -5 \end{pmatrix}$.

$c-a = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \end{pmatrix}$.

$(a+c) \cdot (c-a) = \begin{pmatrix} -1 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \end{pmatrix} = (-1)(-5) + (-5)(-3) = 5 + 15 = 20$