次の3つの漸化式で定義される数列の一般項を求めます。 (4) $a_1 = 1$, $2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$ (5) $a_1 = 0$, $2a_{n+1} - 3a_n = 1$ (6) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 3a_n - 4$

1. 問題の内容

次の3つの漸化式で定義される数列の一般項を求めます。

(4) $a_1 = 1$, $2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$

(5) $a_1 = 0$, $2a_{n+1} - 3a_n = 1$

(6) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 3a_n - 4$

2. 解き方の手順

(4) $2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$ を変形して $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n - 1$とします。

特性方程式 $x = \frac{1}{2}x - 1$ を解くと、$x = -2$となります。

したがって、$a_{n+1} + 2 = \frac{1}{2}(a_n + 2)$となります。

$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_1 = a_1 + 2 = 1 + 2 = 3$ であり、$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$ となります。

これは初項 $3$, 公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列なので、$b_n = 3(\frac{1}{2})^{n-1}$となります。

よって、$a_n = b_n - 2 = 3(\frac{1}{2})^{n-1} - 2$となります。

(5) $2a_{n+1} - 3a_n = 1$ を変形して $a_{n+1} = \frac{3}{2}a_n + \frac{1}{2}$とします。

特性方程式 $x = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$ を解くと、$x = -1$となります。

したがって、$a_{n+1} + 1 = \frac{3}{2}(a_n + 1)$となります。

$b_n = a_n + 1$ とおくと、$b_1 = a_1 + 1 = 0 + 1 = 1$ であり、$b_{n+1} = \frac{3}{2}b_n$ となります。

これは初項 $1$, 公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列なので、$b_n = (\frac{3}{2})^{n-1}$となります。

よって、$a_n = b_n - 1 = (\frac{3}{2})^{n-1} - 1$となります。

(6) $a_{n+1} = 3a_n - 4$

特性方程式 $x = 3x - 4$ を解くと、$2x = 4$ より $x=2$ となります。

したがって、$a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)$となります。

$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_1 = a_1 - 2 = 5 - 2 = 3$ であり、$b_{n+1} = 3b_n$ となります。

これは初項 $3$, 公比 $3$ の等比数列なので、$b_n = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$となります。

よって、$a_n = b_n + 2 = 3^n + 2$となります。

3. 最終的な答え

(4) $a_n = 3(\frac{1}{2})^{n-1} - 2$

(5) $a_n = (\frac{3}{2})^{n-1} - 1$

(6) $a_n = 3^n + 2$