$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos 2\theta + \sin \theta < 0$ を解け。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos 2\theta + \sin \theta < 0$ を解け。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ を用いて表します。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いると、与えられた不等式は、

$1 - 2\sin^2 \theta + \sin \theta < 0$

$2\sin^2 \theta - \sin \theta - 1 > 0$

$(\sin \theta - 1)(2\sin \theta + 1) > 0$

$\sin \theta$ についての場合分けをします。

(i) $\sin \theta - 1 > 0$ かつ $2\sin \theta + 1 > 0$ のとき。

$\sin \theta > 1$ かつ $\sin \theta > -\frac{1}{2}$

$\sin \theta > 1$ となる $\theta$ は存在しないため、この場合は解なし。

(ii) $\sin \theta - 1 < 0$ かつ $2\sin \theta + 1 < 0$ のとき。

$\sin \theta < 1$ かつ $\sin \theta < -\frac{1}{2}$

$\sin \theta < -\frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ において、$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ となるのは、$\theta = \frac{7}{6}\pi$ と $\theta = \frac{11}{6}\pi$ です。

したがって、$\frac{7}{6}\pi < \theta < \frac{11}{6}\pi$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{6}\pi < \theta < \frac{11}{6}\pi$