与えられた式 $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$ を因数分解します。

## (2) の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$A = x^2 - x$ と置くと、与えられた式は $A^2 - 8A + 12$ となります。

これを因数分解すると、 $(A - 2)(A - 6)$ となります。

$A$ を $x^2 - x$ に戻すと、

$(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 6)$ となります。

さらに、それぞれの括弧の中を因数分解します。

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$

したがって、与えられた式は $(x - 2)(x + 1)(x - 3)(x + 2)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x - 3)(x - 2)(x + 1)(x + 2)$

## (4) の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$6x^2 + (7y + 1)x + (2y^2 - 2)$

定数項を因数分解します。 $2y^2 - 2 = 2(y^2 - 1) = 2(y - 1)(y + 1)$

次に、与えられた式が $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形になることを仮定して、因数分解を試みます。

$6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2 = (2x + y + a)(3x + 2y + b)$ と置きます。

展開すると、$6x^2 + 4xy + 2bx + 3xy + 2y^2 + by + 3ax + 2ay + ab$

$= 6x^2 + 7xy + 2y^2 + (2b + 3a)x + (b + 2a)y + ab$

したがって、$2b + 3a = 1$ および $b + 2a = 0$ かつ $ab = -2$ を満たす $a,b$ を探します。

$b = -2a$ を $2b + 3a = 1$ に代入すると、$-4a + 3a = 1$ より $a = -1$。

したがって、$b = -2(-1) = 2$。

このとき、$ab = (-1)(2) = -2$ となり、条件を満たします。

よって、$6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2 = (2x + y - 1)(3x + 2y + 2)$

3. 最終的な答え

$(2x + y - 1)(3x + 2y + 2)$

## (6) の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

式を展開します。

$(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc = a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a - abc$

$= a^2b + ca^2 + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + 2abc$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 2bc) + b^2c + bc^2$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$= (b+c)(a^2 + a(b+c) + bc)$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

$= (b+c)(a(a+b) + c(a+b))$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$