次の式を因数分解する問題です。 (1) $6x^2 - 11x - 10$ (2) $x^2 - xy - 6y^2 - 4x + 7y + 3$

1. 問題の内容

次の式を因数分解する問題です。

(1) $6x^2 - 11x - 10$

(2) $x^2 - xy - 6y^2 - 4x + 7y + 3$

2. 解き方の手順

(1) 因数分解の基本は、まず展開して元の式に戻る組み合わせを探すことです。$6x^2 - 11x - 10$ の因数分解を考えます。

$6x^2$ は $2x \times 3x$ または $1x \times 6x$ などで表せます。$-10$ は $-2 \times 5$ または $-5 \times 2$ などで表せます。

これらの組み合わせで、$x$ の係数が $-11$ になるものを探します。

$(2x - 5)(3x + 2) = 6x^2 + 4x - 15x - 10 = 6x^2 - 11x - 10$

よって、$6x^2 - 11x - 10 = (2x - 5)(3x + 2)$ となります。

(2) $x^2 - xy - 6y^2 - 4x + 7y + 3$ の因数分解を考えます。

まず、$x^2 - xy - 6y^2$ の部分を因数分解すると、$(x - 3y)(x + 2y)$ となります。

そこで、$(x - 3y + a)(x + 2y + b)$ という形に因数分解できると仮定します。

この式を展開すると、

$x^2 + 2xy + bx - 3xy - 6y^2 - 3by + ax + 2ay + ab$

$= x^2 - xy - 6y^2 + (a+b)x + (2a-3b)y + ab$

これが $x^2 - xy - 6y^2 - 4x + 7y + 3$ と等しくなるためには、以下の条件を満たす必要があります。

$a+b = -4$

$2a-3b = 7$

$ab = 3$

この連立方程式を解きます。

$a = -4 - b$ を $2a - 3b = 7$ に代入すると、

$2(-4-b) - 3b = 7$

$-8 - 2b - 3b = 7$

$-5b = 15$

$b = -3$

$a = -4 - (-3) = -1$

$ab = (-1)(-3) = 3$ となり、条件を満たします。

よって、因数分解の結果は $(x - 3y - 1)(x + 2y - 3)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(2x - 5)(3x + 2)$

(2) $(x - y - 1)(x + 2y - 3)$