問題は3つあります。 問題1-1: $m, k \in \mathbb{N}, k < m$ のとき、${}_m C_k = {}_{m-1} C_k + {}_{m-1} C_{k-1}$ を示す。 問題1-2: $\sum_{k=0}^{m} {}_m C_k = 2^m$ および $2^m \geq \frac{m^2}{4}$ ($m \in \mathbb{N}$) を示す。 問題1-3: $x_1, x_2, ..., x_m \in \mathbb{R}$ に対し、$(\sum_{k=1}^{m} |x_k|)^2 \leq m \sum_{k=1}^{m} x_k^2$ を示す。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

問題1-1: $m, k \in \mathbb{N}, k < m$ のとき、${}_m C_k = {}_{m-1} C_k + {}_{m-1} C_{k-1}$ を示す。

問題1-2: $\sum_{k=0}^{m} {}_m C_k = 2^m$ および $2^m \geq \frac{m^2}{4}$ ($m \in \mathbb{N}$) を示す。

問題1-3: $x_1, x_2, ..., x_m \in \mathbb{R}$ に対し、$(\sum_{k=1}^{m} |x_k|)^2 \leq m \sum_{k=1}^{m} x_k^2$ を示す。

2. 解き方の手順

問題1-1:

二項係数の定義 ${}_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を利用する。

${}_{m-1} C_k + {}_{m-1} C_{k-1} = \frac{(m-1)!}{k!(m-1-k)!} + \frac{(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!}$

$= \frac{(m-1)! (m-k) + (m-1)! k}{k!(m-k)!} = \frac{(m-1)! m}{k!(m-k)!} = \frac{m!}{k!(m-k)!} = {}_m C_k$

問題1-2:

二項定理 $(a+b)^m = \sum_{k=0}^{m} {}_m C_k a^{m-k} b^k$ を利用する。

$a = 1, b = 1$ とすると、$(1+1)^m = \sum_{k=0}^{m} {}_m C_k 1^{m-k} 1^k = \sum_{k=0}^{m} {}_m C_k$

よって、$\sum_{k=0}^{m} {}_m C_k = 2^m$

$2^m \geq \frac{m^2}{4}$ を数学的帰納法で示す。

$m = 1$ のとき、$2^1 = 2 \geq \frac{1^2}{4} = \frac{1}{4}$ で成立。

$m = 2$ のとき、$2^2 = 4 \geq \frac{2^2}{4} = 1$ で成立。

$m = 3$ のとき、$2^3 = 8 \geq \frac{3^2}{4} = \frac{9}{4} = 2.25$ で成立。

$m = 4$ のとき、$2^4 = 16 \geq \frac{4^2}{4} = 4$ で成立。

$m = k$ のとき $2^k \geq \frac{k^2}{4}$ が成立すると仮定する。

$2^{k+1} \geq \frac{(k+1)^2}{4}$ を示す。

$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k \geq 2 \cdot \frac{k^2}{4} = \frac{k^2}{2}$

示すべきは $\frac{k^2}{2} \geq \frac{(k+1)^2}{4}$、つまり $2k^2 \geq k^2 + 2k + 1$、つまり $k^2 - 2k - 1 \geq 0$

$k^2 - 2k - 1 = (k-1)^2 - 2$ なので、$k \geq 3$ で成立。

$m = 1, 2, 3, 4$ で成立することを示しているので、$m \geq 1$ の全ての自然数に対して成立する。

問題1-3:

Cauchy-Schwarzの不等式 $(\sum_{k=1}^{m} a_k b_k)^2 \leq (\sum_{k=1}^{m} a_k^2)(\sum_{k=1}^{m} b_k^2)$ を利用する。

$a_k = |x_k|, b_k = 1$ とすると、$(\sum_{k=1}^{m} |x_k| \cdot 1)^2 \leq (\sum_{k=1}^{m} |x_k|^2)(\sum_{k=1}^{m} 1^2)$

$(\sum_{k=1}^{m} |x_k|)^2 \leq (\sum_{k=1}^{m} x_k^2) \cdot m$

$(\sum_{k=1}^{m} |x_k|)^2 \leq m \sum_{k=1}^{m} x_k^2$

3. 最終的な答え

問題1-1: ${}_m C_k = {}_{m-1} C_k + {}_{m-1} C_{k-1}$

問題1-2: $\sum_{k=0}^{m} {}_m C_k = 2^m$, $2^m \geq \frac{m^2}{4}$

問題1-3: $(\sum_{k=1}^{m} |x_k|)^2 \leq m \sum_{k=1}^{m} x_k^2$