ある町に東西に7本、南北に8本の道がある。このとき、以下の問いに答えよ。 (i) A地点からC地点へ行く場合、最短距離で行く方法は何通りあるか。 (ii) P地点からB, Cの両地点を通ってQ地点へ行く場合、最短距離で行く方法は何通りあるか。 (iii) P地点からQ地点へ行く場合、最短距離で行く方法は何通りあるか。

はい、承知しました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

ある町に東西に7本、南北に8本の道がある。このとき、以下の問いに答えよ。

(i) A地点からC地点へ行く場合、最短距離で行く方法は何通りあるか。

(ii) P地点からB, Cの両地点を通ってQ地点へ行く場合、最短距離で行く方法は何通りあるか。

(iii) P地点からQ地点へ行く場合、最短距離で行く方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(i) A地点からC地点へ行く場合

AからCへ最短距離で行くためには、右に4マス、上に6マス移動する必要がある。

したがって、移動の総数は $4+6=10$ マスである。

このうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせの数を求めればよいので、

${}_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$通り。

(ii) P地点からB, Cの両地点を通ってQ地点へ行く場合

PからBへ最短距離で行くためには、右に2マス、上に2マス移動する必要がある。

したがって、移動の総数は $2+2=4$ マスである。

このうち、右への移動を2回選ぶ組み合わせの数を求めればよいので、

${}_{4}C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

BからCへ最短距離で行くためには、上に1マス、左に1マス移動する必要がある。

この移動方法は、1通り。

CからQへ最短距離で行くためには、右に2マス、上に1マス移動する必要がある。

したがって、移動の総数は $2+1=3$ マスである。

このうち、右への移動を2回選ぶ組み合わせの数を求めればよいので、

${}_{3}C_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3}{1} = 3$通り。

したがって、P地点からB, Cの両地点を通ってQ地点へ行く場合、最短距離で行く方法は、

$6 \times 1 \times 3 = 18$通り。

(iii) P地点からQ地点へ行く場合

PからQへ最短距離で行くためには、右に4マス、上に3マス移動する必要がある。

したがって、移動の総数は $4+3=7$ マスである。

このうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせの数を求めればよいので、

${}_{7}C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$通り。

3. 最終的な答え

(i) 210通り

(ii) 18通り

(iii) 35通り