問題は3つあります。 (2) 2種類の符号（おそらく○と●）を1個以上4個以下並べるとき、何通りの記号ができるか。 (3) 2種類の符号（○と●）を使って100通りの記号を作るためには、最小限何個まで並べる必要があるか。 (49) 5個の文字の集合 $U=\{a, b, c, d, e\}$ の部分集合の総数を求めよ。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

(2) 2種類の符号（おそらく○と●）を1個以上4個以下並べるとき、何通りの記号ができるか。

(3) 2種類の符号（○と●）を使って100通りの記号を作るためには、最小限何個まで並べる必要があるか。

(49) 5個の文字の集合 $U=\{a, b, c, d, e\}$ の部分集合の総数を求めよ。

2. 解き方の手順

(2) 符号を並べる個数ごとに場合分けして考えます。1個並べる場合、2個並べる場合、3個並べる場合、4個並べる場合をそれぞれ計算し、それらを足し合わせます。

1個並べる場合：2通り（○または●）

2個並べる場合：$2 \times 2 = 4$通り（○○、○●、●○、●●）

3個並べる場合：$2 \times 2 \times 2 = 8$通り

4個並べる場合：$2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$通り

したがって、合計は$2 + 4 + 8 + 16$通りです。

(3) $n$個の符号を並べたときにできる記号の総数は$2^n$通りです。

1個：$2^1 = 2$通り

2個：$2^2 = 4$通り

3個：$2^3 = 8$通り

4個：$2^4 = 16$通り

5個：$2^5 = 32$通り

6個：$2^6 = 64$通り

これらを順番に足していくと、

1個～5個並べた場合：$2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62$通り

1個～6個並べた場合：$62 + 64 = 126$通り

1個～5個並べた時点では100通りに満たないが、6個並べることで100通りを超えるため、最小限6個まで並べる必要があります。

(49) 集合$U$の部分集合の総数は、$2^n$で求められます。ここで、$n$は集合$U$の要素の数です。

集合$U=\{a, b, c, d, e\}$の要素の数は5なので、$n = 5$です。したがって、部分集合の総数は$2^5$で求められます。

3. 最終的な答え

(2) 30通り

(3) 6個

(49) 32