A, B, C, D, E, F の 6 文字を辞書式順に並べたとき、以下の問いに答える問題です。 * (1) 140 番目の文字列を求めよ。 * (2) FBCDAE は何番目の文字列か。

離散数学順列組み合わせ円順列
2025/7/7
## 問題4

1. **問題の内容**

A, B, C, D, E, F の 6 文字を辞書式順に並べたとき、以下の問いに答える問題です。
* (1) 140 番目の文字列を求めよ。
* (2) FBCDAE は何番目の文字列か。

2. **解き方の手順**

**(1) 140 番目の文字列を求める**
まず、各文字から始まる文字列の数を考えます。
* A から始まる文字列の数は 5!=1205! = 120
* B から始まる文字列の数は 5!=1205! = 120
140 番目の文字列は A から始まる文字列の範囲を超えているため、B から始まる文字列であるとわかります。
140 - 120 = 20 より、B から始まる文字列の中で 20 番目の文字列を求めればよいです。
次に、2 文字目を考えます。
B の次に辞書順で小さい文字は A です。
* BA から始まる文字列の数は 4!=244! = 24
20 番目の文字列は BA から始まる文字列の範囲内であるため、2 文字目は A であるとわかります。
20 番目の文字列は BA から始まる文字列の中で 20 番目です。
次に、3 文字目を考えます。
BA の次に辞書順で小さい文字は C です。
* BAC から始まる文字列の数は 3!=63! = 6
* BAD から始まる文字列の数は 3!=63! = 6
* BAE から始まる文字列の数は 3!=63! = 6
BAC, BAD, BAE から始まる文字列の数を足すと 6+6+6=186+6+6=18 個となります。
したがって、20 番目の文字列は BAE から始まる文字列の範囲を超えているため、BAF から始まる文字列であるとわかります。
20 - 18 = 2 より、BAF から始まる文字列の中で 2 番目の文字列を求めればよいです。
次に、4 文字目を考えます。
BAF の次に辞書順で小さい文字は C です。
* BAFC から始まる文字列の数は 2!=22! = 2
BAF から始まる文字列の中で 2 番目の文字列は BAFC から始まる文字列の範囲内であるため、4 文字目は C であるとわかります。
BAFC から始まる文字列の中で 2 番目の文字列なので、最後は DE となる組み合わせです。DEの順列はDE, EDの2つです。よって、BAFCEDがBAFCから始まる文字列の中で2番目となります。
したがって、140 番目の文字列は BAFCED です。
**(2) FBCDAE は何番目の文字列か**
各文字から始まる文字列の数を考慮して、順番を計算します。
* A から始まる文字列の数は 5!=1205! = 120
* B から始まる文字列の数は 5!=1205! = 120
* C から始まる文字列の数は 5!=1205! = 120
* D から始まる文字列の数は 5!=1205! = 120
* E から始まる文字列の数は 5!=1205! = 120
FBCDAE より前に来る文字列は A, B, C, D, E から始まる文字列の数です。
120×5=600120 \times 5 = 600
次に、2 文字目を考えます。
FBCDAE の 2 文字目は B です。
FA から始まる文字列の数は 4!=244! = 24
次に、3 文字目を考えます。
FBCDAE の 3 文字目は C です。
FBA から始まる文字列の数は 3!=63! = 6
次に、4 文字目を考えます。
FBCDAE の 4 文字目は D です。
FBCA から始まる文字列の数は 2!=22! = 2
次に、5 文字目を考えます。
FBCDAE の 5 文字目は A です。
FBCDAE より前に来る文字列は FBCDA から始まる文字列で FBCDAE より小さいものです。
FBCDAE の前に来る文字列は FBCDA から始まる文字列で、小さい順から FBCDAE です。
したがって、FBCDAE は FBCDA から始まる文字列の中で 1 番目です。
よって、FBCDAE の順番は
600+24+6+2+1=633600 + 24 + 6 + 2 + 1 = 633

3. **最終的な答え**

(1) 140 番目の文字列: BAFCED
(2) FBCDAE は 633 番目の文字列
## 問題5

1. **問題の内容**

異なる 6 個の宝石があるとき、以下の問いに答える問題です。
* (1) これらの宝石を机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。
* (2) これらの宝石で首飾りを作るとき、何種類の首飾りができるか。
* (3) 6 個の宝石から 4 個を取り出し、机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。

2. **解き方の手順**

**(1) 円形に並べる方法**
円順列の公式を利用します。n 個のものを円形に並べる方法は (n1)!(n-1)! 通りです。
したがって、6 個の宝石を円形に並べる方法は (61)!=5!=120(6-1)! = 5! = 120 通りです。
**(2) 首飾りを作る方法**
首飾りは裏返しても同じものとみなすため、円順列の場合の数を 2 で割る必要があります。
したがって、6 個の宝石で首飾りを作る方法は (61)!2=5!2=1202=60\frac{(6-1)!}{2} = \frac{5!}{2} = \frac{120}{2} = 60 種類です。
**(3) 4 個を取り出し円形に並べる方法**
まず、6 個から 4 個を選ぶ組み合わせを計算します。これは 6C4=6!4!(64)!=6!4!2!=6×52×1=15_{6}C_{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 通りです。
次に、選んだ 4 個の宝石を円形に並べる方法を計算します。これは (41)!=3!=6(4-1)! = 3! = 6 通りです。
したがって、6 個の宝石から 4 個を取り出し、机の上で円形に並べる方法は 15×6=9015 \times 6 = 90 通りです。

3. **最終的な答え**

(1) 120 通り
(2) 60 種類
(3) 90 通り

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