A, B, C, D, E, F の 6 文字を辞書式順に並べたとき、以下の問いに答える問題です。 * (1) 140 番目の文字列を求めよ。 * (2) FBCDAE は何番目の文字列か。

## 問題4

1. **問題の内容**

A, B, C, D, E, F の 6 文字を辞書式順に並べたとき、以下の問いに答える問題です。

* (1) 140 番目の文字列を求めよ。

* (2) FBCDAE は何番目の文字列か。

2. **解き方の手順**

**(1) 140 番目の文字列を求める**

まず、各文字から始まる文字列の数を考えます。

* A から始まる文字列の数は $5! = 120$ 個

* B から始まる文字列の数は $5! = 120$ 個

140 番目の文字列は A から始まる文字列の範囲を超えているため、B から始まる文字列であるとわかります。

140 - 120 = 20 より、B から始まる文字列の中で 20 番目の文字列を求めればよいです。

次に、2 文字目を考えます。

B の次に辞書順で小さい文字は A です。

* BA から始まる文字列の数は $4! = 24$ 個

20 番目の文字列は BA から始まる文字列の範囲内であるため、2 文字目は A であるとわかります。

20 番目の文字列は BA から始まる文字列の中で 20 番目です。

次に、3 文字目を考えます。

BA の次に辞書順で小さい文字は C です。

* BAC から始まる文字列の数は $3! = 6$ 個

* BAD から始まる文字列の数は $3! = 6$ 個

* BAE から始まる文字列の数は $3! = 6$ 個

BAC, BAD, BAE から始まる文字列の数を足すと $6+6+6=18$ 個となります。

したがって、20 番目の文字列は BAE から始まる文字列の範囲を超えているため、BAF から始まる文字列であるとわかります。

20 - 18 = 2 より、BAF から始まる文字列の中で 2 番目の文字列を求めればよいです。

次に、4 文字目を考えます。

BAF の次に辞書順で小さい文字は C です。

* BAFC から始まる文字列の数は $2! = 2$ 個

BAF から始まる文字列の中で 2 番目の文字列は BAFC から始まる文字列の範囲内であるため、4 文字目は C であるとわかります。

BAFC から始まる文字列の中で 2 番目の文字列なので、最後は DE となる組み合わせです。DEの順列はDE, EDの2つです。よって、BAFCEDがBAFCから始まる文字列の中で2番目となります。

したがって、140 番目の文字列は BAFCED です。

**(2) FBCDAE は何番目の文字列か**

各文字から始まる文字列の数を考慮して、順番を計算します。

* A から始まる文字列の数は $5! = 120$ 個

* B から始まる文字列の数は $5! = 120$ 個

* C から始まる文字列の数は $5! = 120$ 個

* D から始まる文字列の数は $5! = 120$ 個

* E から始まる文字列の数は $5! = 120$ 個

FBCDAE より前に来る文字列は A, B, C, D, E から始まる文字列の数です。

$120 \times 5 = 600$

次に、2 文字目を考えます。

FBCDAE の 2 文字目は B です。

FA から始まる文字列の数は $4! = 24$ 個

次に、3 文字目を考えます。

FBCDAE の 3 文字目は C です。

FBA から始まる文字列の数は $3! = 6$ 個

次に、4 文字目を考えます。

FBCDAE の 4 文字目は D です。

FBCA から始まる文字列の数は $2! = 2$ 個

次に、5 文字目を考えます。

FBCDAE の 5 文字目は A です。

FBCDAE より前に来る文字列は FBCDA から始まる文字列で FBCDAE より小さいものです。

FBCDAE の前に来る文字列は FBCDA から始まる文字列で、小さい順から FBCDAE です。

したがって、FBCDAE は FBCDA から始まる文字列の中で 1 番目です。

よって、FBCDAE の順番は

$600 + 24 + 6 + 2 + 1 = 633$

3. **最終的な答え**

(1) 140 番目の文字列: BAFCED

(2) FBCDAE は 633 番目の文字列

## 問題5

1. **問題の内容**

異なる 6 個の宝石があるとき、以下の問いに答える問題です。

* (1) これらの宝石を机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。

* (2) これらの宝石で首飾りを作るとき、何種類の首飾りができるか。

* (3) 6 個の宝石から 4 個を取り出し、机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。

2. **解き方の手順**

**(1) 円形に並べる方法**

円順列の公式を利用します。n 個のものを円形に並べる方法は $(n-1)!$ 通りです。

したがって、6 個の宝石を円形に並べる方法は $(6-1)! = 5! = 120$ 通りです。

**(2) 首飾りを作る方法**

首飾りは裏返しても同じものとみなすため、円順列の場合の数を 2 で割る必要があります。

したがって、6 個の宝石で首飾りを作る方法は $\frac{(6-1)!}{2} = \frac{5!}{2} = \frac{120}{2} = 60$ 種類です。

**(3) 4 個を取り出し円形に並べる方法**

まず、6 個から 4 個を選ぶ組み合わせを計算します。これは $_{6}C_{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りです。

次に、選んだ 4 個の宝石を円形に並べる方法を計算します。これは $(4-1)! = 3! = 6$ 通りです。

したがって、6 個の宝石から 4 個を取り出し、机の上で円形に並べる方法は $15 \times 6 = 90$ 通りです。

3. **最終的な答え**

(1) 120 通り

(2) 60 種類

(3) 90 通り