右図のような街路において、PからQまで行く最短経路の総数、およびR、S、×印の箇所を通る/通らない場合の経路数を求めよ。

離散数学組み合わせ最短経路場合の数
2025/7/7
## 回答

1. 問題の内容

右図のような街路において、PからQまで行く最短経路の総数、およびR、S、×印の箇所を通る/通らない場合の経路数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 総数
PからQまで行くには、右に5回、下に4回移動する必要がある。
したがって、総経路数は、9回の移動のうち右方向への5回の移動を選ぶ組み合わせの数に等しい。
{}_{9}C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126
(2) Rを通る経路
PからRまでの経路数は、右に2回、下に1回移動する必要があるため、3C2=3{}_{3}C_2 = 3通り。
RからQまでの経路数は、右に3回、下に3回移動する必要があるため、6C3=6×5×43×2×1=20{}_{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20通り。
したがって、Rを通る経路数は3×20=603 \times 20 = 60通り。
(3) R, Sをともに通る経路
PからRまでの経路数は3通り((2)より)。
RからSまでの経路数は、右に1回、下に2回移動する必要があるため、3C1=3{}_{3}C_1 = 3通り。
SからQまでの経路数は、右に2回、下に1回移動する必要があるため、3C2=3{}_{3}C_2 = 3通り。
したがって、RとSをともに通る経路数は3×3×3=273 \times 3 \times 3 = 27通り。
(4) RまたはSを通る経路
Rを通る経路数は60通り((2)より)。
Sを通る経路数は、PからSまでが4C2=6{}_{4}C_2 = 6通り、SからQまでが3C2=3{}_{3}C_2 = 3通りなので、6×3=186 \times 3 = 18通り。
RとSの両方を通る経路数は27通り((3)より)。
したがって、RまたはSを通る経路数は、60+1827=5160 + 18 - 27 = 51通り。
(5) R, Sをともに通らない経路
総経路数は126通り((1)より)。
RまたはSを通る経路数は51通り((4)より)。
したがって、RもSも通らない経路数は、12651=75126 - 51 = 75通り。
(6) ×印の箇所を通らない経路
Pから×印の箇所を通る経路は、Pから×印の箇所まで3C1=3{}_{3}C_1 = 3通り。 ×印の箇所からQまで6C4=15{}_{6}C_4 = 15通り。よって、×印の箇所を通る経路は、3×15=453 \times 15 = 45通り。
したがって、×印の箇所を通らない経路数は、12645=81126 - 45 = 81通り。

3. 最終的な答え

(1) 126通り
(2) 60通り
(3) 27通り
(4) 51通り
(5) 75通り
(6) 81通り

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