右図のような街路において、PからQまで行く最短経路の総数、およびR、S、×印の箇所を通る/通らない場合の経路数を求めよ。

## 回答

1. 問題の内容

右図のような街路において、PからQまで行く最短経路の総数、およびR、S、×印の箇所を通る/通らない場合の経路数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 総数

PからQまで行くには、右に5回、下に4回移動する必要がある。

したがって、総経路数は、9回の移動のうち右方向への5回の移動を選ぶ組み合わせの数に等しい。

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{}_{9}C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126

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(2) Rを通る経路

PからRまでの経路数は、右に2回、下に1回移動する必要があるため、${}_{3}C_2 = 3$通り。

RからQまでの経路数は、右に3回、下に3回移動する必要があるため、${}_{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通り。

したがって、Rを通る経路数は$3 \times 20 = 60$通り。

(3) R, Sをともに通る経路

PからRまでの経路数は3通り（(2)より）。

RからSまでの経路数は、右に1回、下に2回移動する必要があるため、${}_{3}C_1 = 3$通り。

SからQまでの経路数は、右に2回、下に1回移動する必要があるため、${}_{3}C_2 = 3$通り。

したがって、RとSをともに通る経路数は$3 \times 3 \times 3 = 27$通り。

(4) RまたはSを通る経路

Rを通る経路数は60通り（(2)より）。

Sを通る経路数は、PからSまでが${}_{4}C_2 = 6$通り、SからQまでが${}_{3}C_2 = 3$通りなので、$6 \times 3 = 18$通り。

RとSの両方を通る経路数は27通り（(3)より）。

したがって、RまたはSを通る経路数は、$60 + 18 - 27 = 51$通り。

(5) R, Sをともに通らない経路

総経路数は126通り（(1)より）。

RまたはSを通る経路数は51通り（(4)より）。

したがって、RもSも通らない経路数は、$126 - 51 = 75$通り。

(6) ×印の箇所を通らない経路

Pから×印の箇所を通る経路は、Pから×印の箇所まで${}_{3}C_1 = 3$通り。 ×印の箇所からQまで${}_{6}C_4 = 15$通り。よって、×印の箇所を通る経路は、$3 \times 15 = 45$通り。

したがって、×印の箇所を通らない経路数は、$126 - 45 = 81$通り。

3. 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 60通り

(3) 27通り

(4) 51通り

(5) 75通り

(6) 81通り