9冊の異なる本を以下の条件で分ける方法の数を求める問題です。 (1) 3冊ずつ3人に分ける。 (2) 3冊ずつ3組に分ける。 (3) 2冊, 3冊, 4冊の3組に分ける。 (4) 2冊, 2冊, 5冊の3組に分ける。

1. 問題の内容

9冊の異なる本を以下の条件で分ける方法の数を求める問題です。

(1) 3冊ずつ3人に分ける。

(2) 3冊ずつ3組に分ける。

(3) 2冊, 3冊, 4冊の3組に分ける。

(4) 2冊, 2冊, 5冊の3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 3冊ずつ3人に分ける場合：

まず、9冊から3冊を選ぶ方法は ${}_9 C_3$ 通り。

次に、残りの6冊から3冊を選ぶ方法は ${}_6 C_3$ 通り。

最後に、残りの3冊を選ぶ方法は ${}_3 C_3$ 通り。

これらを掛け合わせると ${}_9 C_3 \times {}_6 C_3 \times {}_3 C_3$ となりますが、人には区別があるので、これで正しいです。

計算すると、

${}_9 C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

${}_6 C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

${}_3 C_3 = 1$

したがって、$84 \times 20 \times 1 = 1680$ 通り。

(2) 3冊ずつ3組に分ける場合：

まず、9冊から3冊を選ぶ方法は ${}_9 C_3$ 通り。

次に、残りの6冊から3冊を選ぶ方法は ${}_6 C_3$ 通り。

最後に、残りの3冊を選ぶ方法は ${}_3 C_3$ 通り。

これらを掛け合わせると ${}_9 C_3 \times {}_6 C_3 \times {}_3 C_3$ となりますが、組には区別がないので、3!で割る必要があります。

${}_9 C_3 \times {}_6 C_3 \times {}_3 C_3 = 84 \times 20 \times 1 = 1680$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

したがって、$\frac{1680}{6} = 280$ 通り。

(3) 2冊, 3冊, 4冊の3組に分ける場合：

まず、9冊から2冊を選ぶ方法は ${}_9 C_2$ 通り。

次に、残りの7冊から3冊を選ぶ方法は ${}_7 C_3$ 通り。

最後に、残りの4冊を選ぶ方法は ${}_4 C_4$ 通り。

これらを掛け合わせると ${}_9 C_2 \times {}_7 C_3 \times {}_4 C_4$ となります。

計算すると、

${}_9 C_2 = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

${}_7 C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

${}_4 C_4 = 1$

したがって、$36 \times 35 \times 1 = 1260$ 通り。

(4) 2冊, 2冊, 5冊の3組に分ける場合：

まず、9冊から2冊を選ぶ方法は ${}_9 C_2$ 通り。

次に、残りの7冊から2冊を選ぶ方法は ${}_7 C_2$ 通り。

最後に、残りの5冊を選ぶ方法は ${}_5 C_5$ 通り。

これらを掛け合わせると ${}_9 C_2 \times {}_7 C_2 \times {}_5 C_5$ となりますが、2冊の組には区別がないので、2!で割る必要があります。

計算すると、

${}_9 C_2 = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

${}_7 C_2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

${}_5 C_5 = 1$

したがって、$\frac{36 \times 21 \times 1}{2!} = \frac{756}{2} = 378$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 1680通り

(2) 280通り

(3) 1260通り

(4) 378通り