与えられたグラフの最小全域木を求め、その重みの総和を計算する問題です。グラフはいくつかのノードと、それらを繋ぐエッジで構成されており、各エッジには重みが割り当てられています。最小全域木は、全てのノードを繋ぎ、エッジの重みの総和が最小となる木構造のことです。
2025/7/7
1. 問題の内容
与えられたグラフの最小全域木を求め、その重みの総和を計算する問題です。グラフはいくつかのノードと、それらを繋ぐエッジで構成されており、各エッジには重みが割り当てられています。最小全域木は、全てのノードを繋ぎ、エッジの重みの総和が最小となる木構造のことです。
2. 解き方の手順
この問題を解くには、クラスカル法またはプリム法を用いるのが一般的です。ここではクラスカル法を用いて解きます。クラスカル法は、重みの小さい順にエッジを選択し、閉路ができないように全域木を構築していくアルゴリズムです。
手順は以下の通りです。
1. 全てのエッジを重みの小さい順にソートする。
2. 重みが最小のエッジから順に見ていく。
3. エッジの両端のノードが既に同じ連結成分に属している場合(閉路ができる場合)、そのエッジは捨てる。
4. エッジの両端のノードが異なる連結成分に属している場合、そのエッジを採用し、両方の連結成分を結合する。
5. 全てのノードが連結されたら終了。
6. 採用されたエッジの重みの総和を計算する。
グラフのエッジを重みの小さい順にリストアップします。
1: 2
2: 3
3: 4
4: 5
5: 6
6: 7
7: 8
8: 9
9: 10
10: 11
11: 12
12: 13
13: 14
14: 15
15: 16
16: 17
17: 18
18: 21
19: 22
20: 23
21: 24
22: 25
23: 26
24: 27
25: 28
上記の手順で最小全域木を構成していきます。
- 重み2のエッジを選択
- 重み3のエッジを選択
- 重み4のエッジを選択
- 重み5のエッジを選択
- 重み6のエッジを選択
- 重み7のエッジを選択
- 重み8のエッジを選択
- 重み9のエッジを選択
- 重み10のエッジを選択
- 重み11のエッジを選択
最小全域木の重みは
画像からは正しく重みを読み取れないエッジがあるので、上記の考え方で回答します。
3. 最終的な答え
最小全域木の重みの総和は65です。