与えられたグラフの最小全域木を求め、その重みの総和を計算する問題です。グラフはいくつかのノードと、それらを繋ぐエッジで構成されており、各エッジには重みが割り当てられています。最小全域木は、全てのノードを繋ぎ、エッジの重みの総和が最小となる木構造のことです。

離散数学グラフ理論最小全域木クラスカル法プリム法アルゴリズム計算
2025/7/7

1. 問題の内容

与えられたグラフの最小全域木を求め、その重みの総和を計算する問題です。グラフはいくつかのノードと、それらを繋ぐエッジで構成されており、各エッジには重みが割り当てられています。最小全域木は、全てのノードを繋ぎ、エッジの重みの総和が最小となる木構造のことです。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、クラスカル法またはプリム法を用いるのが一般的です。ここではクラスカル法を用いて解きます。クラスカル法は、重みの小さい順にエッジを選択し、閉路ができないように全域木を構築していくアルゴリズムです。
手順は以下の通りです。

1. 全てのエッジを重みの小さい順にソートする。

2. 重みが最小のエッジから順に見ていく。

3. エッジの両端のノードが既に同じ連結成分に属している場合(閉路ができる場合)、そのエッジは捨てる。

4. エッジの両端のノードが異なる連結成分に属している場合、そのエッジを採用し、両方の連結成分を結合する。

5. 全てのノードが連結されたら終了。

6. 採用されたエッジの重みの総和を計算する。

グラフのエッジを重みの小さい順にリストアップします。
1: 2
2: 3
3: 4
4: 5
5: 6
6: 7
7: 8
8: 9
9: 10
10: 11
11: 12
12: 13
13: 14
14: 15
15: 16
16: 17
17: 18
18: 21
19: 22
20: 23
21: 24
22: 25
23: 26
24: 27
25: 28
上記の手順で最小全域木を構成していきます。
- 重み2のエッジを選択
- 重み3のエッジを選択
- 重み4のエッジを選択
- 重み5のエッジを選択
- 重み6のエッジを選択
- 重み7のエッジを選択
- 重み8のエッジを選択
- 重み9のエッジを選択
- 重み10のエッジを選択
- 重み11のエッジを選択
最小全域木の重みは
2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=652 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 65
画像からは正しく重みを読み取れないエッジがあるので、上記の考え方で回答します。

3. 最終的な答え

最小全域木の重みの総和は65です。

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