画像に含まれる複数の数学の問題を解く必要があります。ここでは、特に言及がないので、画像に見られる全ての問題を解きます。

## 問題の回答

1. 問題の内容

画像に含まれる複数の数学の問題を解く必要があります。ここでは、特に言及がないので、画像に見られる全ての問題を解きます。

2. 解き方の手順

**問題1:**

* 6個の数字1, 2, 3, 4, 5, 6を円形に並べるとき、1と2が隣り合う並べ方を求めます。

1と2をひとまとめにして考えます。すると、残りの4つの数字と1と2の塊の合計5個を円形に並べる並べ方は $(5-1)! = 4! = 24$通りです。

1と2の並び順は12と21の2通りあるので、隣り合う並べ方は$24 \times 2 = 48$通りです。

* 1と2が向かい合う並べ方を求めます。

1の位置を固定すると、2の位置は向かい側に決まります。残りの4つの数字を並べる並べ方は$4! = 24$通りです。

**問題2:**

* 男子4人と女子3人が円形のテーブルに着くとき、女子の両隣には必ず男子が座るような並び方を求めます。

まず、男子4人を円形に並べます。その並べ方は $(4-1)! = 3! = 6$通りです。

次に、女子3人を男子の間3か所に並べる並べ方は $P(4,3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$通りです。

したがって、並び方は $6 \times 24 = 144$通りです。

**問題4:**

* 4つの数字0, 1, 2, 3を重複を許して使ってできる、次の正の整数は何個あるかを求めます。

* (ア) 4桁の整数

千の位には0以外の3つの数字（1, 2, 3）のいずれかが入り、百、十、一の位には4つの数字のいずれかが入ります。

したがって、$3 \times 4 \times 4 \times 4 = 192$個です。

* (イ) 3桁以下の整数

1桁の整数は0を除く1, 2, 3の3個です。

2桁の整数は十の位に0以外の3つの数字のいずれかが入り、一の位には4つの数字のいずれかが入るので、 $3 \times 4 = 12$個です。

3桁の整数は百の位に0以外の3つの数字のいずれかが入り、十と一の位には4つの数字のいずれかが入るので、$3 \times 4 \times 4 = 48$個です。

したがって、3桁以下の整数は $3 + 12 + 48 = 63$個です。

**問題8:**

* 立方体の各面に、隣り合った面の色は異なるように、色を塗りたい。ただし、立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなします。

* (1) 異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるかを求めます。

まず、1つの面の色を固定します。すると、その反対側の面の色は残り5色から1色選ぶことになります。残りの4つの面は円順列で並ぶので、並べ方は $(4-1)! = 3! = 6$通りです。

したがって、塗る方法は $5 \times 6 = 30$通りです。

* (2) 異なる5色を使って塗る方法は何通りあるかを求めます。

5色のうち2色が同じ色になります。

まず、同じ色にする2色を選びます。選び方は $C(5, 1) = 5$通りです。

同じ色にする面を選び固定し、その反対側を違う色で塗る（残り4色から1色選ぶので4通り）、残りの３面を塗ります。

隣り合う面は同じ色にならないので、残りの３面の色は決まります。

したがって、$5 \times 3=15$通り

**問題9:**

* 10人を2つの部屋A, Bに入れる方法は何通りあるかを求めます。ただし、10人全員が同じ部屋に入ってもよいものとします。

* (1) 10人を2つの部屋A, Bに入れる方法は何通りあるかを求めます。

各人はAまたはBのどちらかの部屋に入るので、各人について2通りの選択肢があります。

したがって、部屋への入れ方は $2^{10} = 1024$通りです。

* (2) 10人を2つの組A, Bに分ける方法は何通りあるかを求めます。

ただし、片方の組が0人でも良いとします。

10人をAに入れる人数を0人から10人まで変化させれば良いので、$C(10,0) + C(10,1) + ... + C(10, 10) = 2^{10} = 1024$通り

ただし、空になる組がないようにするため、全てAに入れる場合と全てBに入れる場合の2通りを引くと、 $1024 - 2 = 1022$通りです。

* (3) 10人を2つの組に分ける方法は何通りあるかを求めます。

2つの組にA, Bという区別がないので、(2)で求めた1022通りを2で割ります。

$1022/2 = 511$通りです。

**問題10:**

* 次の値を求めます。ただし、$C(n, r)$は二項係数とします。

* (1) $C(5, 5) = 1$

* (2) $C(7, 1) = 7$

* (3) $C(7, 2) = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

* (4) $C(5, 0) = 1$

* (5) $C(10, 8) = C(10, 2) = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

* (6) $C(n+1, n) = C(n+1, 1) = n+1$

**問題11:**

* (1) 8枚の絵はがきから5枚を選ぶ方法は何通りあるかを求めます。

$C(8, 5) = C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通りです。

* (2) 1枚の硬貨を10回投げるとき、表が3回出る場合は何通りあるかを求めます。

$C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$通りです。

**問題12:**

* 6本の平行線と、それらに交わる4本の平行線とによってできる平行四辺形は何個あるかを求めます。

平行四辺形を作るには、6本の平行線から2本を選び、4本の平行線から2本選ぶ必要があります。

平行四辺形の個数は $C(6, 2) \times C(4, 2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 15 \times 6 = 90$個です。

**問題13:**

* 正七角形について、次の数を求めます。

* (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数を求めます。

$C(7, 3) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$個です。

* (2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数を求めます。

$C(7, 4) = C(7, 3) = 35$個です。

* (3) 対角線の本数を求めます。

七角形の頂点の数は7個で、各頂点から他の4つの頂点へ線が引けます（自分自身と隣接する2つの頂点を除く）。

したがって、対角線の総数は $(7 \times 4)/2 = 14$本です（2回数えないように2で割ります）。

* (4) 7角形と1辺だけ共有している三角形の個数を求めます。

各辺に対して5個の三角形を作ることができるので、$7 \times 3 = 21$個です。

* (5) 7角形と辺を共有していない三角形の個数を求めます。

まず、全ての三角形の数から、辺を1つ共有する三角形の数と2つ共有する三角形の数を引く。$35 - 21 - 7 = 7$個です。

**問題14:**

* 男子6人、女子4人の中から

(1) すべての選び方

10人から何人選ぶかが不明なので、解けません。

(3) 女子が少なくとも1人選ばれる選び方

　これも人数が不明なので解けません。

**問題15:**

* YOKOHAMA の8文字を横一列に並べる

* (1) 順列の総数

YOKOHAMAの8文字にはOが2つ、Aが2つ含まれています。

順列の総数は $\frac{8!}{2!2!} = \frac{40320}{4} = 10080$通りです。

**問題16:**

* 12人の生徒を次のように分ける方法を求めます。

* (1) 7人、5人の2組に分ける。

$C(12, 7) = C(12, 5) = \frac{12*11*10*9*8}{5*4*3*2*1} = 792$通り

* (3) 6人ずつA、Bの2部屋に入れる。

$C(12, 6) = \frac{12*11*10*9*8*7}{6*5*4*3*2*1} = 924$通り

**問題17:**

* 図のような街路でPからQへ行く経路について求めます

* (1) 総数

右に５回、上に4回移動するので、全部で9回の移動です。このうち右に移動するのが5回なので、$C(9, 5) = \frac{9*8*7*6}{4*3*2*1} = 126$通り

* (2) 等式x+y+z=7を満たす解の組数

**問題18:**

* 等式x+y+z=7を満たす解の組数を求めます。

* (1) x, y, zが0以上の整数の場合

これは、7個の球を2つの仕切りで分ける場合の数と同じです。

したがって、$C(7+3-1, 3-1) = C(9, 2) = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$通りです。

* (2) x, y, zが正の整数の場合

まず、x, y, zに1ずつ与えて、$x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1$とすると、$x' + y' + z' = 4$となります。

ここで、$x', y', z'$は0以上の整数です。

したがって、$C(4+3-1, 3-1) = C(6, 2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通りです。

3. 最終的な答え

**問題1:**

* 1と2が隣り合う並べ方: 48通り

* 1と2が向かい合う並べ方: 24通り

**問題2:** 144通り

**問題4:**

* (ア) 192個

* (イ) 63個

**問題8:**

* (1) 30通り

* (2) 15通り

**問題9:**

* (1) 1024通り

* (2) 1022通り

* (3) 511通り

**問題10:**

* (1) 1

* (2) 7

* (3) 21

* (4) 1

* (5) 45

* (6) n+1

**問題11:**

* (1) 56通り

* (2) 120通り

**問題12:** 90個

**問題13:**

* (1) 35個

* (2) 35個

* (3) 14本

* (4) 21個

* (5) 7個

**問題15:**

* 10080通り

**問題16:**

* (1) 792通り

* (3) 924通り

**問題17:**

* (1) 126通り

**問題18:**

* (1) 36通り

* (2) 15通り