画像に含まれる複数の数学の問題を解く必要があります。ここでは、特に言及がないので、画像に見られる全ての問題を解きます。

離散数学順列組み合わせ円順列二項係数場合の数重複組合せ
2025/7/7
## 問題の回答

1. 問題の内容

画像に含まれる複数の数学の問題を解く必要があります。ここでは、特に言及がないので、画像に見られる全ての問題を解きます。

2. 解き方の手順

**問題1:**
* 6個の数字1, 2, 3, 4, 5, 6を円形に並べるとき、1と2が隣り合う並べ方を求めます。
1と2をひとまとめにして考えます。すると、残りの4つの数字と1と2の塊の合計5個を円形に並べる並べ方は (51)!=4!=24(5-1)! = 4! = 24通りです。
1と2の並び順は12と21の2通りあるので、隣り合う並べ方は24×2=4824 \times 2 = 48通りです。
* 1と2が向かい合う並べ方を求めます。
1の位置を固定すると、2の位置は向かい側に決まります。残りの4つの数字を並べる並べ方は4!=244! = 24通りです。
**問題2:**
* 男子4人と女子3人が円形のテーブルに着くとき、女子の両隣には必ず男子が座るような並び方を求めます。
まず、男子4人を円形に並べます。その並べ方は (41)!=3!=6(4-1)! = 3! = 6通りです。
次に、女子3人を男子の間3か所に並べる並べ方は P(4,3)=4×3×2=24P(4,3) = 4 \times 3 \times 2 = 24通りです。
したがって、並び方は 6×24=1446 \times 24 = 144通りです。
**問題4:**
* 4つの数字0, 1, 2, 3を重複を許して使ってできる、次の正の整数は何個あるかを求めます。
* (ア) 4桁の整数
千の位には0以外の3つの数字(1, 2, 3)のいずれかが入り、百、十、一の位には4つの数字のいずれかが入ります。
したがって、3×4×4×4=1923 \times 4 \times 4 \times 4 = 192個です。
* (イ) 3桁以下の整数
1桁の整数は0を除く1, 2, 3の3個です。
2桁の整数は十の位に0以外の3つの数字のいずれかが入り、一の位には4つの数字のいずれかが入るので、 3×4=123 \times 4 = 12個です。
3桁の整数は百の位に0以外の3つの数字のいずれかが入り、十と一の位には4つの数字のいずれかが入るので、3×4×4=483 \times 4 \times 4 = 48個です。
したがって、3桁以下の整数は 3+12+48=633 + 12 + 48 = 63個です。
**問題8:**
* 立方体の各面に、隣り合った面の色は異なるように、色を塗りたい。ただし、立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなします。
* (1) 異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるかを求めます。
まず、1つの面の色を固定します。すると、その反対側の面の色は残り5色から1色選ぶことになります。残りの4つの面は円順列で並ぶので、並べ方は (41)!=3!=6(4-1)! = 3! = 6通りです。
したがって、塗る方法は 5×6=305 \times 6 = 30通りです。
* (2) 異なる5色を使って塗る方法は何通りあるかを求めます。
5色のうち2色が同じ色になります。
まず、同じ色にする2色を選びます。選び方は C(5,1)=5C(5, 1) = 5通りです。
同じ色にする面を選び固定し、その反対側を違う色で塗る(残り4色から1色選ぶので4通り)、残りの3面を塗ります。
隣り合う面は同じ色にならないので、残りの3面の色は決まります。
したがって、5×3=155 \times 3=15通り
**問題9:**
* 10人を2つの部屋A, Bに入れる方法は何通りあるかを求めます。ただし、10人全員が同じ部屋に入ってもよいものとします。
* (1) 10人を2つの部屋A, Bに入れる方法は何通りあるかを求めます。
各人はAまたはBのどちらかの部屋に入るので、各人について2通りの選択肢があります。
したがって、部屋への入れ方は 210=10242^{10} = 1024通りです。
* (2) 10人を2つの組A, Bに分ける方法は何通りあるかを求めます。
ただし、片方の組が0人でも良いとします。
10人をAに入れる人数を0人から10人まで変化させれば良いので、C(10,0)+C(10,1)+...+C(10,10)=210=1024C(10,0) + C(10,1) + ... + C(10, 10) = 2^{10} = 1024通り
ただし、空になる組がないようにするため、全てAに入れる場合と全てBに入れる場合の2通りを引くと、 10242=10221024 - 2 = 1022通りです。
* (3) 10人を2つの組に分ける方法は何通りあるかを求めます。
2つの組にA, Bという区別がないので、(2)で求めた1022通りを2で割ります。
1022/2=5111022/2 = 511通りです。
**問題10:**
* 次の値を求めます。ただし、C(n,r)C(n, r)は二項係数とします。
* (1) C(5,5)=1C(5, 5) = 1
* (2) C(7,1)=7C(7, 1) = 7
* (3) C(7,2)=7×62×1=21C(7, 2) = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21
* (4) C(5,0)=1C(5, 0) = 1
* (5) C(10,8)=C(10,2)=10×92×1=45C(10, 8) = C(10, 2) = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
* (6) C(n+1,n)=C(n+1,1)=n+1C(n+1, n) = C(n+1, 1) = n+1
**問題11:**
* (1) 8枚の絵はがきから5枚を選ぶ方法は何通りあるかを求めます。
C(8,5)=C(8,3)=8×7×63×2×1=56C(8, 5) = C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56通りです。
* (2) 1枚の硬貨を10回投げるとき、表が3回出る場合は何通りあるかを求めます。
C(10,3)=10×9×83×2×1=120C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120通りです。
**問題12:**
* 6本の平行線と、それらに交わる4本の平行線とによってできる平行四辺形は何個あるかを求めます。
平行四辺形を作るには、6本の平行線から2本を選び、4本の平行線から2本選ぶ必要があります。
平行四辺形の個数は C(6,2)×C(4,2)=6×52×1×4×32×1=15×6=90C(6, 2) \times C(4, 2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 15 \times 6 = 90個です。
**問題13:**
* 正七角形について、次の数を求めます。
* (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数を求めます。
C(7,3)=7×6×53×2×1=35C(7, 3) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35個です。
* (2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数を求めます。
C(7,4)=C(7,3)=35C(7, 4) = C(7, 3) = 35個です。
* (3) 対角線の本数を求めます。
七角形の頂点の数は7個で、各頂点から他の4つの頂点へ線が引けます(自分自身と隣接する2つの頂点を除く)。
したがって、対角線の総数は (7×4)/2=14(7 \times 4)/2 = 14本です(2回数えないように2で割ります)。
* (4) 7角形と1辺だけ共有している三角形の個数を求めます。
各辺に対して5個の三角形を作ることができるので、7×3=217 \times 3 = 21個です。
* (5) 7角形と辺を共有していない三角形の個数を求めます。
まず、全ての三角形の数から、辺を1つ共有する三角形の数と2つ共有する三角形の数を引く。35217=735 - 21 - 7 = 7個です。
**問題14:**
* 男子6人、女子4人の中から
(1) すべての選び方
10人から何人選ぶかが不明なので、解けません。
(3) 女子が少なくとも1人選ばれる選び方
 これも人数が不明なので解けません。
**問題15:**
* YOKOHAMA の8文字を横一列に並べる
* (1) 順列の総数
YOKOHAMAの8文字にはOが2つ、Aが2つ含まれています。
順列の総数は 8!2!2!=403204=10080\frac{8!}{2!2!} = \frac{40320}{4} = 10080通りです。
**問題16:**
* 12人の生徒を次のように分ける方法を求めます。
* (1) 7人、5人の2組に分ける。
C(12,7)=C(12,5)=1211109854321=792C(12, 7) = C(12, 5) = \frac{12*11*10*9*8}{5*4*3*2*1} = 792通り
* (3) 6人ずつA、Bの2部屋に入れる。
C(12,6)=121110987654321=924C(12, 6) = \frac{12*11*10*9*8*7}{6*5*4*3*2*1} = 924通り
**問題17:**
* 図のような街路でPからQへ行く経路について求めます
* (1) 総数
右に5回、上に4回移動するので、全部で9回の移動です。このうち右に移動するのが5回なので、C(9,5)=98764321=126C(9, 5) = \frac{9*8*7*6}{4*3*2*1} = 126通り
* (2) 等式x+y+z=7を満たす解の組数
**問題18:**
* 等式x+y+z=7を満たす解の組数を求めます。
* (1) x, y, zが0以上の整数の場合
これは、7個の球を2つの仕切りで分ける場合の数と同じです。
したがって、C(7+31,31)=C(9,2)=9×82×1=36C(7+3-1, 3-1) = C(9, 2) = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36通りです。
* (2) x, y, zが正の整数の場合
まず、x, y, zに1ずつ与えて、x=x1,y=y1,z=z1x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1とすると、x+y+z=4x' + y' + z' = 4となります。
ここで、x,y,zx', y', z'は0以上の整数です。
したがって、C(4+31,31)=C(6,2)=6×52×1=15C(4+3-1, 3-1) = C(6, 2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15通りです。

3. 最終的な答え

**問題1:**
* 1と2が隣り合う並べ方: 48通り
* 1と2が向かい合う並べ方: 24通り
**問題2:** 144通り
**問題4:**
* (ア) 192個
* (イ) 63個
**問題8:**
* (1) 30通り
* (2) 15通り
**問題9:**
* (1) 1024通り
* (2) 1022通り
* (3) 511通り
**問題10:**
* (1) 1
* (2) 7
* (3) 21
* (4) 1
* (5) 45
* (6) n+1
**問題11:**
* (1) 56通り
* (2) 120通り
**問題12:** 90個
**問題13:**
* (1) 35個
* (2) 35個
* (3) 14本
* (4) 21個
* (5) 7個
**問題15:**
* 10080通り
**問題16:**
* (1) 792通り
* (3) 924通り
**問題17:**
* (1) 126通り
**問題18:**
* (1) 36通り
* (2) 15通り

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