問題8は、以下の集合に関する定義を述べる問題です。 (1) 集合Aと集合Bが対等である。 (2) 集合Aが有限集合である。集合Bが無限集合である。 (3) 集合Aが可算集合である。集合Bが高々可算である。集合Cが非可算集合である。 (4) 集合Xのベキ集合 $\mathcal{P}(X)$。

1. 問題の内容

問題8は、以下の集合に関する定義を述べる問題です。

(1) 集合Aと集合Bが対等である。

(2) 集合Aが有限集合である。集合Bが無限集合である。

(3) 集合Aが可算集合である。集合Bが高々可算である。集合Cが非可算集合である。

(4) 集合Xのベキ集合 $\mathcal{P}(X)$。

2. 解き方の手順

各定義を以下に示します。

(1) 集合Aと集合Bが対等である：

集合Aから集合Bへの全単射（一対一対応）が存在するとき、集合Aと集合Bは対等であるといいます。記号では $A \sim B$ と表します。

(2) 集合Aが有限集合である：

ある自然数 $n$ が存在して、集合Aから集合 $\{1, 2, ..., n\}$ への全単射が存在するとき、集合Aは有限集合であるといいます。

集合Bが無限集合である：

集合Bが有限集合でないとき、集合Bは無限集合であるといいます。

(3) 集合Aが可算集合である：

集合Aから自然数全体の集合 $\mathbb{N}$ への全単射が存在するとき、集合Aは可算集合であるといいます。

集合Bが高々可算である：

集合Bが有限集合であるか、または可算集合であるとき、集合Bは高々可算であるといいます。

集合Cが非可算集合である：

集合Cが高々可算でないとき、集合Cは非可算集合であるといいます。

(4) 集合Xのベキ集合 $\mathcal{P}(X)$：

集合Xのベキ集合 $\mathcal{P}(X)$ とは、集合Xの部分集合全体の集合です。つまり、

$\mathcal{P}(X) = \{ A \mid A \subseteq X \}$

となります。

3. 最終的な答え

(1) 集合Aと集合Bが対等である：集合Aから集合Bへの全単射が存在する。

(2) 集合Aが有限集合である：ある自然数 $n$ が存在して、集合Aから $\{1, 2, ..., n\}$ への全単射が存在する。集合Bが無限集合である：集合Bが有限集合でない。

(3) 集合Aが可算集合である：集合Aから自然数全体の集合 $\mathbb{N}$ への全単射が存在する。集合Bが高々可算である：集合Bが有限集合であるか、または可算集合である。集合Cが非可算集合である：集合Cが高々可算でない。

(4) 集合Xのベキ集合 $\mathcal{P}(X)$：$\mathcal{P}(X) = \{ A \mid A \subseteq X \}$