無限集合 $X$ の部分集合 $A$ について、次の命題の真偽を判定し、正しい場合は証明、正しくない場合は反例を挙げよ。 (1) $A$ が有限集合ならば、$X-A$ は $X$ と対等である。 (2) $X-A$ が $X$ と対等ならば、$A$ は有限集合である。

## 問題の回答

以下に、問題 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 の回答を示します。

### 問題 11

1. **問題の内容**

無限集合 $X$ の部分集合 $A$ について、次の命題の真偽を判定し、正しい場合は証明、正しくない場合は反例を挙げよ。

(1) $A$ が有限集合ならば、$X-A$ は $X$ と対等である。

(2) $X-A$ が $X$ と対等ならば、$A$ は有限集合である。

2. **解き方の手順**

(1) これは正しい。

$X$ は無限集合なので、可算無限部分集合 $B = \{b_1, b_2, ...\}$ を持つ。$A$ は有限集合であるから、$A=\{a_1,a_2,...,a_n\}$ と書ける。

$X-A$ から $X$ への写像 $f$ を次のように構成する。

* $x \in A$ でないとき、$f(x) = x$。

* $f(b_i) = a_i, (i = 1, 2, ..., n)$

* $f(b_{n+i}) = b_i, (i = 1, 2, ...)$

このとき、$f$ は全単射であり、$X-A$ と $X$ は対等である。

(2) これは正しくない。

反例: $X = \mathbb{N}$ (自然数全体の集合)、$A = \{2n | n \in \mathbb{N}\}$ (偶数全体の集合) とする。

このとき、$X-A = \{2n-1 | n \in \mathbb{N}\}$ (奇数全体の集合) である。

明らかに、$X-A$ は $X$ と対等（$n \mapsto 2n-1$ が全単射）であるが、$A$ は無限集合である。

3. **最終的な答え**

(1) 正しい。

(2) 正しくない。反例は上記の通り。

### 問題 12

1. **問題の内容**

有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ について以下を示せ。

(1) $\mathbb{Q}$ は可算集合である。

(2) 直積集合 $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ と対等である。

(3) 直和集合 $\mathbb{Q} + \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ と対等である。

2. **解き方の手順**

(1) $\mathbb{Q}$ は可算集合である。

正の有理数全体を $S$ とする。$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ は可算集合である。写像 $f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to S$, $f(m,n) = m/n$ を考える。これは全射であるから，$S$ は可算集合である。同様に負の有理数全体も可算集合である。$\mathbb{Q}$ は、正の有理数全体の集合、負の有理数全体の集合、$\{0\}$ の合併であり、これらは可算集合である。したがって $\mathbb{Q}$ も可算集合である。

(2) $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ と対等である。

$\mathbb{Q}$ は可算集合であるから、$\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ も可算集合である。

$A = \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ とおく。$A$ は可算集合であるから、$A$ から $\mathbb{N}$ への全単射が存在する。

同様に、$\mathbb{Q}$ から $\mathbb{N}$ への全単射も存在する。

したがって、$A$ と $\mathbb{Q}$ は対等である。

(3) $\mathbb{Q} + \mathbb{Q} = \{x+y | x, y \in \mathbb{Q}\}$ は $\mathbb{Q}$ と対等である。

$\mathbb{Q} + \mathbb{Q} = \mathbb{Q}$ である。なぜなら、任意の $z \in \mathbb{Q}$ に対して、$z = z/2 + z/2$ であり、$z/2 \in \mathbb{Q}$ だからである。

したがって、$\mathbb{Q} + \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ と対等である。

3. **最終的な答え**

(1) $\mathbb{Q}$ は可算集合である。

(2) $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ と対等である。

(3) $\mathbb{Q} + \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ と対等である。

### 問題 13

1. **問題の内容**

集合 $X$ が無限集合であるための必要十分条件は、$X$ 自身に対等な真部分集合を $X$ が含むことを示せ。

2. **解き方の手順**

($\Rightarrow$) $X$ が無限集合であると仮定する。

$X$ が無限集合であるとき、$X$ は可算無限部分集合 $A = \{a_1, a_2, a_3, ...\}$ を含む。

$X$ の真部分集合 $Y = X \setminus \{a_1\}$ を考える。

$f: X \to Y$ を $x \notin A$ ならば $f(x) = x$, $x = a_i$ ならば $f(x) = a_{i+1}$ と定義すると、$f$ は全単射である。

したがって、$X$ と $Y$ は対等である。

($\Leftarrow$) $X$ が自身に対等な真部分集合 $Y$ を含むと仮定する。

$X$ が有限集合であると仮定すると、$X$ の任意の真部分集合 $Y$ は、$X$ よりも要素の数が少ない。

したがって、$X$ と $Y$ は対等ではない。これは矛盾である。

したがって、$X$ は無限集合である。

3. **最終的な答え**

集合 $X$ が無限集合であるための必要十分条件は、$X$ 自身に対等な真部分集合を $X$ が含む。

### 問題 14

1. **問題の内容**

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ は閉区間 $[0,1] = \{x \in \mathbb{R} | 0 \leq x \leq 1\}$ と対等であることを示せ。

2. **解き方の手順**

まず、$f: (0, 1) \to \mathbb{R}$ で $f(x) = \tan(\pi (x - 1/2))$ を考える。これは全単射である。したがって、$(0, 1)$ は $\mathbb{R}$ と対等である。

次に、$(0, 1)$ と $[0, 1]$ が対等であることを示す。そのため、$A = \{1/2, 1/3, 1/4, ...\}$ を考え、写像 $g: [0, 1] \to (0, 1)$ を以下のように定義する。

$g(0) = 1/2$, $g(1) = 1/3$, $g(1/n) = 1/(n+2)$ ($n = 2, 3, 4, ...$), $x \notin \{0, 1, 1/2, 1/3, ...\}$ ならば $g(x) = x$ とする。

このとき、$g$ は全単射である。したがって、$[0, 1]$ と $(0, 1)$ は対等である。

推移律より、$\mathbb{R}$ と $[0, 1]$ は対等である。

3. **最終的な答え**

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ は閉区間 $[0,1]$ と対等である。

### 問題 15

1. **問題の内容**

$\mathbb{R}$ は非可算集合であることを示せ。

2. **解き方の手順**

カントールの対角線論法を用いる。

$\mathbb{R}$ が可算集合であると仮定する。

すると、$\mathbb{R}$ の要素を $r_1, r_2, r_3, ...$ と並べることができる。

各 $r_i$ を 10 進数で表す: $r_i = n_i.d_{i1}d_{i2}d_{i3}...$ ($n_i$ は整数、$d_{ij}$ は 0 から 9 までの数字)。

新しい実数 $x = 0.x_1x_2x_3...$ を以下のように構成する:

$x_i = 1$ if $d_{ii} \neq 1$, $x_i = 2$ if $d_{ii} = 1$

このとき、$x$ はどの $r_i$ とも異なる。なぜなら、$x$ の $i$ 番目の桁は $r_i$ の $i$ 番目の桁と異なるからである。

したがって、$x$ は $\mathbb{R}$ に含まれるはずなのに、$r_1, r_2, r_3, ...$ のどれとも異なる。これは矛盾である。

したがって、$\mathbb{R}$ は非可算集合である。

3. **最終的な答え**

$\mathbb{R}$ は非可算集合である。

### 問題 16

1. **問題の内容**

$\mathbb{R} \times \mathbb{N}$ は $\mathbb{R}$ と対等であることを示せ。

2. **解き方の手順**

まず、$R \times \{1\} \subset R \times N$ を考えると、$R \times \{1\}$ は $R$ と対等であることは明らか。よって、$|R| \leq |R \times N|$ である。

次に、写像 $f: \mathbb{R} \to (0, 1)$ を $f(x) = \frac{1}{\pi}\arctan(x) + \frac{1}{2}$ で定義する。これは全単射なので、$\mathbb{R}$ と $(0, 1)$ は対等である。よって、$|\mathbb{R}| = |(0, 1)|$。

カントールの対角線論法で示したように、$R$ は $(0,1)$と対等なので、$R \times N$ は $(0,1) \times N$ と対等。$(0,1)$ の任意の元は、$0.a_1 a_2 a_3 \dots$ という無限小数で一意的に書ける。そこで、写像 $g: (0,1) \times N \to (0,1)$ を $g(0.a_1 a_2 a_3 \dots, n) = 0.a_1 a_2 \dots a_n 0 a_{n+1} \dots$ で定義することを考え、$n$ 番目の桁の後ろに $0$ を挿入する。この操作により、$| (0,1) \times N | = |(0,1)|$ となり、$|R \times N| = |R|$ となる。

3. **最終的な答え**

$\mathbb{R} \times \mathbb{N}$ は $\mathbb{R}$ と対等である。

### 問題 17

1. **問題の内容**

実数直線 $\mathbb{R}$ は実数平面 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ と対等であることを示せ。

2. **解き方の手順**

問題 14 より、$\mathbb{R}$ は $(0,1)$ と対等である。したがって、$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ は $(0,1) \times (0,1)$ と対等である。

$(0,1)$ の任意の元は、$0.a_1 a_2 a_3 \dots$ という無限小数で一意的に書ける。

写像 $f: (0,1) \times (0,1) \to (0,1)$ を $f(0.a_1 a_2 a_3 \dots, 0.b_1 b_2 b_3 \dots) = 0.a_1 b_1 a_2 b_2 a_3 b_3 \dots$ で定義する。つまり、二つの無限小数を交互に並べる。

この $f$ は全単射なので、$(0,1) \times (0,1)$ と $(0,1)$ は対等である。

したがって、$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ と $\mathbb{R}$ は対等である。

3. **最終的な答え**

実数直線 $\mathbb{R}$ は実数平面 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ と対等である。

### 問題 18

1. **問題の内容**

$\mathcal{P}(A)$ と $\mathcal{P}(B)$ をそれぞれ集合 $A$ と集合 $B$ のべき集合とする。次の命題が正しければ証明せよ。正しくない場合は反例を挙げよ。

(1) $\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) = \mathcal{P}(A \cup B)$

(2) $\mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) = \mathcal{P}(A \cap B)$

2. **解き方の手順**

(1) これは正しくない。

反例: $A = \{1\}$, $B = \{2\}$ とする。

$\mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{1\}\}$, $\mathcal{P}(B) = \{\emptyset, \{2\}\}$

$\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}\}$

$A \cup B = \{1, 2\}$

$\mathcal{P}(A \cup B) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$

$\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) \neq \mathcal{P}(A \cup B)$

(2) これは正しい。

($\subseteq$) $X \in \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)$ とする。

すると、$X \in \mathcal{P}(A)$ かつ $X \in \mathcal{P}(B)$。

したがって、$X \subseteq A$ かつ $X \subseteq B$。

したがって、$X \subseteq A \cap B$。

したがって、$X \in \mathcal{P}(A \cap B)$。

($\supseteq$) $X \in \mathcal{P}(A \cap B)$ とする。

すると、$X \subseteq A \cap B$。

したがって、$X \subseteq A$ かつ $X \subseteq B$。

したがって、$X \in \mathcal{P}(A)$ かつ $X \in \mathcal{P}(B)$。

したがって、$X \in \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)$。

3. **最終的な答え**

(1) 正しくない。反例は上記の通り。

(2) 正しい。

### 問題 19

1. **問題の内容**

集合 $X$ のべき集合 $\mathcal{P}(X)$ は $X$ より濃度が真に大きいことを示せ。

2. **解き方の手順**

$|X| \leq |\mathcal{P}(X)|$ であることは明らかである。なぜなら、$f: X \to \mathcal{P}(X)$ を $f(x) = \{x\}$ で定義すると、$f$ は単射だからである。

次に、$|X| = |\mathcal{P}(X)|$ と仮定すると、$X$ から $\mathcal{P}(X)$ への全単射 $g$ が存在する。

集合 $A = \{x \in X | x \notin g(x)\}$ を考える。$A \subseteq X$ なので、$A \in \mathcal{P}(X)$ である。

$g$ は全射なので、$g(y) = A$ となる $y \in X$ が存在する。

このとき、$y \in A$ であるか、$y \notin A$ であるかのいずれかである。

もし $y \in A$ ならば、$y \notin g(y) = A$ となり矛盾。

もし $y \notin A$ ならば、$y \in g(y) = A$ となり矛盾。

したがって、$|X| = |\mathcal{P}(X)|$ という仮定は誤りである。

よって、$|X| < |\mathcal{P}(X)|$ である。

3. **最終的な答え**

集合 $X$ のべき集合 $\mathcal{P}(X)$ は $X$ より濃度が真に大きい。

### 問題 20

1. **問題の内容**

$\mathbb{R}$ は $\mathbb{N}$ のベキ集合 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ と対等であることを示せ。

2. **解き方の手順**

実数 $x \in (0, 1)$ を二進展開する。$x = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{a_i}{2^i}, a_i \in \{0, 1\}$

$\mathbb{N}$ の部分集合 $A = \{i \in \mathbb{N} | a_i = 1\}$ を考える。

写像 $f: (0, 1) \to \mathcal{P}(\mathbb{N})$ を $f(x) = A$ で定義する。

この写像は全単射である。

したがって、$(0, 1)$ と $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ は対等である。

問題 14 より、$\mathbb{R}$ は $(0, 1)$ と対等である。

したがって、$\mathbb{R}$ は $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ と対等である。

3. **最終的な答え**

$\mathbb{R}$ は $\mathbb{N}$ のベキ集合 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ と対等である。