問題63は、異なる色の9個の玉を、以下の条件でいくつかの組に分けるとき、分け方が何通りあるかを問う問題です。 (1) 4個、3個、2個の3つの組に分ける。 (2) A, B, Cの3つの組に、3個ずつ分ける。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

問題63は、異なる色の9個の玉を、以下の条件でいくつかの組に分けるとき、分け方が何通りあるかを問う問題です。

(1) 4個、3個、2個の3つの組に分ける。

(2) A, B, Cの3つの組に、3個ずつ分ける。

2. 解き方の手順

(1) 4個、3個、2個の3つの組に分ける場合

まず、9個の玉から4個を選ぶ組み合わせは $_9C_4$ 通りです。

次に、残りの5個の玉から3個を選ぶ組み合わせは $_5C_3$ 通りです。

最後に、残りの2個の玉から2個を選ぶ組み合わせは $_2C_2$ 通りです。

したがって、分け方の総数は $_9C_4 \times _5C_3 \times _2C_2$ となります。

$_9C_4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$_2C_2 = \frac{2!}{2!0!} = 1$

よって、分け方の総数は $126 \times 10 \times 1 = 1260$ 通りです。

(2) A, B, Cの3つの組に、3個ずつ分ける場合

まず、9個の玉からAに3個を選ぶ組み合わせは $_9C_3$ 通りです。

次に、残りの6個の玉からBに3個を選ぶ組み合わせは $_6C_3$ 通りです。

最後に、残りの3個の玉からCに3個を選ぶ組み合わせは $_3C_3$ 通りです。

したがって、分け方の総数は $_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3$ となります。ただし、A, B, Cは区別されるので、組の区別を考慮する必要はありません。

$_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$_3C_3 = \frac{3!}{3!0!} = 1$

したがって、分け方の総数は $84 \times 20 \times 1 = 1680$ 通りです。しかし、A, B, Cは区別があるので、３つの組の並び順を考慮する必要はありません。3!で割ると、$1680 / 3! = 1680 / 6 = 280$。

ただし、問題にはA,B,Cの区別がついているので、割る必要はありません。

3. 最終的な答え

(1) 1260通り

(2) 1680通り