右の図のような道のある町で、PからQまで行く最短の道順は何通りあるかを求める。

1. 問題の内容

右の図のような道のある町で、PからQまで行く最短の道順は何通りあるかを求める。

2. 解き方の手順

最短経路は、右に進むことと上に進むことだけを繰り返すことで実現できます。

PからQまで行くには、右に6回、上に4回進む必要があります。

したがって、最短経路の総数は、同じものを含む順列の考え方を用いて計算できます。

10回の移動のうち、右に6回、上に4回進む組み合わせの数を求めます。

全体の移動回数は10回です。このうち右への移動が6回、上への移動が4回です。したがって、最短経路の総数は、10個のものの中から6個を選ぶ組み合わせの数、または10個のものの中から4個を選ぶ組み合わせの数として計算できます。組み合わせの公式を使うと以下のようになります。

$\binom{10}{6} = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

または

$\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

3. 最終的な答え

PからQまで行く最短の道順は210通りです。