与えられた式 $(x^2 - 2x - 16)(x^2 - 2x - 14) + 1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2 - 2x - 16)(x^2 - 2x - 14) + 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$A = x^2 - 2x$ とおく。すると、与えられた式は

$(A - 16)(A - 14) + 1$

と書ける。これを展開すると

$A^2 - 30A + 224 + 1 = A^2 - 30A + 225$

となる。これは平方の形に変形できる。

$A^2 - 30A + 225 = (A - 15)^2$

ここで、$A = x^2 - 2x$ を代入すると、

$(x^2 - 2x - 15)^2$

となる。

次に、$x^2 - 2x - 15$ を因数分解する。

$x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)$

したがって、

$(x^2 - 2x - 15)^2 = ((x - 5)(x + 3))^2 = (x - 5)^2(x + 3)^2$

3. 最終的な答え

$(x - 5)^2(x + 3)^2$