整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ の部分集合 $A_1$ と $A_2$ に対して、$f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)$ が常に成り立つかどうかを判定する問題です。成り立つ場合は ○、そうでない場合は × を選択します。ここで、$f$ は集合を集合に写す関数です。

1. 問題の内容

整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ の部分集合 $A_1$ と $A_2$ に対して、$f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)$ が常に成り立つかどうかを判定する問題です。成り立つ場合は ○、そうでない場合は × を選択します。ここで、$f$ は集合を集合に写す関数です。

2. 解き方の手順

この問題は、集合論の基本的な性質を使って解くことができます。

まず、$f(A)$ の定義を確認します。$f(A) = \{f(x) \mid x \in A \}$ です。

次に、$f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)$ が常に成り立つことを示すか、または反例を挙げます。

$y \in f(A_1 \cap A_2)$ と仮定します。このとき、ある $x \in A_1 \cap A_2$ が存在して、$f(x) = y$ が成り立ちます。

$x \in A_1 \cap A_2$ であることから、$x \in A_1$ かつ $x \in A_2$ が成り立ちます。

したがって、$f(x) \in f(A_1)$ かつ $f(x) \in f(A_2)$ となり、$f(x) = y \in f(A_1) \cap f(A_2)$ となります。

よって、$f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)$ は常に成り立ちます。

3. 最終的な答え

○