$x+y+z=10$ を満たす負でない整数 $x, y, z$ の組は何個あるか。

1. 問題の内容

$x+y+z=10$ を満たす負でない整数 $x, y, z$ の組は何個あるか。

2. 解き方の手順

この問題は、重複組合せの問題として解くことができます。

$x, y, z$ は負でない整数であるため、$x \geq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$ です。

$n$ 種類の異なるものから重複を許して $r$ 個選ぶ組合せの総数は、$_nH_r = \binom{n+r-1}{r}$ で与えられます。

この問題では、$x, y, z$ の3つの変数があり、それらの合計が10であるため、$n=3$、 $r=10$ と考えることができます。

したがって、求める組み合わせの数は、

$_{3}H_{10} = \binom{3+10-1}{10} = \binom{12}{10} = \binom{12}{2}$

$\binom{12}{2} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66$

3. 最終的な答え

66個