赤玉5個、白玉4個が入った袋から玉を1個取り出し、元に戻してからさらに1個取り出すとき、以下の確率を求めます。 (1) 2個とも白玉が出る確率。 (2) 赤玉が1個、白玉が1個出る確率。 (3) 少なくとも1個は赤玉が出る確率。

はい、承知いたしました。

問題を解いて、指定された形式で回答します。

**問題 89**

1. 問題の内容

赤玉5個、白玉4個が入った袋から玉を1個取り出し、元に戻してからさらに1個取り出すとき、以下の確率を求めます。

(1) 2個とも白玉が出る確率。

(2) 赤玉が1個、白玉が1個出る確率。

(3) 少なくとも1個は赤玉が出る確率。

2. 解き方の手順

全玉の数は5+4=9個です。

(1) 2個とも白玉が出る確率

1回目に白玉を引く確率 $\frac{4}{9}$

2回目に白玉を引く確率 $\frac{4}{9}$

求める確率は

$P = \frac{4}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{16}{81}$

(2) 赤玉が1個、白玉が1個出る確率

1回目に赤玉、2回目に白玉を引く確率は $\frac{5}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{20}{81}$

1回目に白玉、2回目に赤玉を引く確率は $\frac{4}{9} \times \frac{5}{9} = \frac{20}{81}$

求める確率は、これら2つの場合を足し合わせて

$P = \frac{20}{81} + \frac{20}{81} = \frac{40}{81}$

(3) 少なくとも1個は赤玉が出る確率

これは、2個とも白玉が出る確率の余事象です。

1 - (2個とも白玉が出る確率) = 少なくとも1個は赤玉が出る確率

$P = 1 - \frac{16}{81} = \frac{81 - 16}{81} = \frac{65}{81}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{16}{81}$

(2) $\frac{40}{81}$

(3) $\frac{65}{81}$

**問題 90**

1. 問題の内容

1個のさいころを4回投げるとき、以下の確率を求めます。

(1) 4回とも6の目が出る確率。

(2) 6の目が3回出る確率。

(3) 少なくとも1回は6の目が出る確率。

2. 解き方の手順

(1) 4回とも6の目が出る確率

1回に6が出る確率は $\frac{1}{6}$

4回とも6が出る確率は

$P = (\frac{1}{6})^4 = \frac{1}{1296}$

(2) 6の目が3回出る確率

4回のうち3回が6の目で、残りの1回は6以外の目が出る確率を考えます。

6が出る確率: $\frac{1}{6}$

6以外が出る確率: $\frac{5}{6}$

6が3回、6以外が1回出る組み合わせの数は $_4C_3 = 4$通り

よって求める確率は

$P = {}_4C_3 (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^1 = 4 \times \frac{1}{216} \times \frac{5}{6} = \frac{20}{1296} = \frac{5}{324}$

(3) 少なくとも1回は6の目が出る確率

これは、4回とも6以外の目が出る確率の余事象です。

1 - (4回とも6以外の目が出る確率) = 少なくとも1回は6の目が出る確率

4回とも6以外の目が出る確率は $(\frac{5}{6})^4 = \frac{625}{1296}$

求める確率は

$P = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{1296 - 625}{1296} = \frac{671}{1296}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{1296}$

(2) $\frac{5}{324}$

(3) $\frac{671}{1296}$

**問題 91**

1. 問題の内容

数直線上で、原点を始点として点Pを以下のルールで動かします。

さいころを投げて、5以上の目が出た場合は右へ1だけ進み、4以下の目が出た場合は左へ1だけ進みます。

(1) 1回投げたとき右へ1だけ進む確率。

(2) 1回投げたとき左へ1だけ進む確率。

(3) さいころを4回投げて点Pが点Q(4)の位置にいる確率。

(5) さいころを6回投げて点Pが点R(-2)の位置にいる確率。

2. 解き方の手順

(1) 1回投げたとき右へ1だけ進む確率。

5以上の目は5と6なので、$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

(2) 1回投げたとき左へ1だけ進む確率。

4以下の目は1,2,3,4なので、$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

(3) さいころを4回投げて点Pが点Q(4)の位置にいる確率。

4回とも右に進む必要があります。

$P = (\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$

(5) さいころを6回投げて点Pが点R(-2)の位置にいる確率。

点R(-2)にいるためには、左に4回、右に2回進む必要があります。

組み合わせの数は $_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6\times5}{2} = 15$

確率は

$P = {}_6C_4 (\frac{2}{3})^4 (\frac{1}{3})^2 = 15 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{9} = 15 \times \frac{16}{729} = \frac{240}{729} = \frac{80}{243}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}$

(2) $\frac{2}{3}$

(3) $\frac{1}{81}$

(5) $\frac{80}{243}$