A君とB君がじゃんけんを6回行うとき、A君がちょうど4回勝つ確率を求めます。ただし、引き分けはじゃんけんの回数に含めるものとします。

1. 問題の内容

A君とB君がじゃんけんを6回行うとき、A君がちょうど4回勝つ確率を求めます。ただし、引き分けはじゃんけんの回数に含めるものとします。

2. 解き方の手順

まず、1回のじゃんけんでA君が勝つ確率を考えます。

A君が出す手に対して、B君が負ける手を出す必要があります。

じゃんけんの手はグー、チョキ、パーの3種類なので、A君が勝つ確率は $\frac{1}{3}$ です。

同様に、A君が負ける確率も $\frac{1}{3}$ で、引き分けの確率も $\frac{1}{3}$ です。

ここで、A君が4回勝つという事象に注目します。6回のじゃんけんでA君が4回勝ち、残りの2回はA君が負けるか引き分けるかのいずれかです。

この問題では、反復試行の確率を利用します。

6回のじゃんけんでA君が4回勝つ確率は、

$_{6}C_{4} (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^{6-4}$

となります。

ここで、$_{6}C_{4}$は6回のうち4回勝つ組み合わせの数であり、$\frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ です。

したがって、確率は

$15 \times (\frac{1}{3})^4 \times (\frac{2}{3})^2 = 15 \times \frac{1}{81} \times \frac{4}{9} = \frac{60}{729} = \frac{20}{243}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{20}{243}$