ある大学の80人の学生を対象に、外国語の履修状況を調べたところ、英語を選択している学生は40人、フランス語を選択している学生も40人、ドイツ語を選択している学生は35人であった。3科目すべてを選択している学生は10人で、どれか1科目だけを選択している学生は35人であった。このとき、3科目とも選択していない学生の人数を求める。

1. 問題の内容

ある大学の80人の学生を対象に、外国語の履修状況を調べたところ、英語を選択している学生は40人、フランス語を選択している学生も40人、ドイツ語を選択している学生は35人であった。3科目すべてを選択している学生は10人で、どれか1科目だけを選択している学生は35人であった。このとき、3科目とも選択していない学生の人数を求める。

2. 解き方の手順

まず、英語、フランス語、ドイツ語をそれぞれ選択している学生の人数を $n(E), n(F), n(G)$ と表す。

3科目すべてを選択している学生の人数を $n(E \cap F \cap G)$ と表す。

どれか1科目だけを選択している学生の人数は35人である。

3科目とも選択していない学生の人数を求めたい。

包除原理を利用する。

$n(E \cup F \cup G) = n(E) + n(F) + n(G) - n(E \cap F) - n(F \cap G) - n(G \cap E) + n(E \cap F \cap G)$

全体の人数を $N$ とすると、$N = 80$ である。

3科目とも選択していない学生の人数は $N - n(E \cup F \cup G)$ である。

問題文より、

$n(E) = 40$

$n(F) = 40$

$n(G) = 35$

$n(E \cap F \cap G) = 10$

また、どれか1科目だけを選択している学生の人数は35人である。これは、

$n(E) + n(F) + n(G) - 2n(E \cap F) - 2n(F \cap G) - 2n(G \cap E) + 3n(E \cap F \cap G) = 35$

包除原理より、

$n(E \cup F \cup G) = n(E) + n(F) + n(G) - n(E \cap F) - n(F \cap G) - n(G \cap E) + n(E \cap F \cap G)$

$n(E \cup F \cup G) = 40 + 40 + 35 - n(E \cap F) - n(F \cap G) - n(G \cap E) + 10$

$n(E \cup F \cup G) = 125 - n(E \cap F) - n(F \cap G) - n(G \cap E)$

また、ベン図を考えると、$n(E \cup F \cup G)$は、1科目のみ選択者、2科目選択者、3科目選択者の合計である。

1科目のみ選択者は35人である。3科目選択者は10人である。

2科目のみ選択者数を$x$とする。

すると、$n(E \cup F \cup G) = 35 + x + 10 = 45 + x$

全体の人数は80人なので、3科目とも選択していない人数を$y$とすると、$80 = 45 + x + y$

よって、$y = 80 - (45+x) = 35 - x$

包除原理を用いて、$n(E \cup F \cup G) = n(E) + n(F) + n(G) - [n(E \cap F) + n(E \cap G) + n(F \cap G)] + n(E \cap F \cap G)$

$45 + x = 40 + 40 + 35 - [n(E \cap F) + n(E \cap G) + n(F \cap G)] + 10$

$45 + x = 125 - [n(E \cap F) + n(E \cap G) + n(F \cap G)] + 10$

$45 + x = 135 - [n(E \cap F) + n(E \cap G) + n(F \cap G)]$

$[n(E \cap F) + n(E \cap G) + n(F \cap G)] = 135 - 45 - x = 90 - x$

2科目のみ選択者は、$n(E \cap F) + n(E \cap G) + n(F \cap G) - 3n(E \cap F \cap G) = x$である。

$90 - x - 3(10) = x$

$90 - x - 30 = x$

$60 = 2x$

$x = 30$

$y = 35 - x = 35 - 30 = 5$

3. 最終的な答え

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