問題は、順列・組み合わせと確率に関する2つの設問で構成されています。 (1) 大人6人と子供3人の合計9人が1列に並ぶ場合の確率について、 - 先頭と最後尾が大人になる確率 - 子供3人が全員隣り合う確率 - 子供の前後が必ず大人になる確率 を求める問題です。 (2) 白球1個、赤球2個、青球3個、黒球4個の合計10個の球が入った袋から同時に3個を取り出す場合の確率について、 - 取り出した球の色がすべて異なる確率 - 取り出した球の色が2種類である確率 - 白球を取り出さず、青球を少なくとも1個取り出す確率 を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、順列・組み合わせと確率に関する2つの設問で構成されています。

(1) 大人6人と子供3人の合計9人が1列に並ぶ場合の確率について、

- 先頭と最後尾が大人になる確率

- 子供3人が全員隣り合う確率

- 子供の前後が必ず大人になる確率

を求める問題です。

(2) 白球1個、赤球2個、青球3個、黒球4個の合計10個の球が入った袋から同時に3個を取り出す場合の確率について、

- 取り出した球の色がすべて異なる確率

- 取り出した球の色が2種類である確率

- 白球を取り出さず、青球を少なくとも1個取り出す確率

を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

(a) 先頭と最後尾が大人になる確率

- 全体の並び方は9!通り。

- 先頭と最後尾に大人を配置する方法は 6P2 = 6 * 5 = 30 通り。

- 残りの7人の並び方は7!通り。

- よって、求める確率は $\frac{30 \times 7!}{9!} = \frac{30}{9 \times 8} = \frac{5}{12}$。

(b) 子供3人が全員隣り合う確率

- 子供3人をひとまとめにして考えると、7人（大人6人+子供1グループ）の並び方は7!通り。

- 子供3人の並び方は3! = 6通り。

- よって、求める確率は $\frac{7! \times 3!}{9!} = \frac{6}{9 \times 8} = \frac{1}{12}$。

(c) 子供の前後が必ず大人になる確率

- 子供の前後が必ず大人になる並び方は、大人と子供が交互に並ぶ場合のみ。

- 大人が6人なので、子供が入れる場所は7箇所（両端と大人の間）。

- 子供の並び方は 3! = 6 通り

- 大人の並び方は 6! = 720 通り

- 子供3人の並び順を考慮すると$3!$

- 計算すると $\frac{7P3 * 6!}{9!} = \frac{7*6*5 * 6!}{9!} = \frac{7*6*5}{9*8*7}= \frac{5}{12}$

(2)

(a) 取り出した球の色がすべて異なる確率

- 全体の取り出し方は $_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$通り。

- 各色から1個ずつ取り出す方法は、 $1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$通り。

- 求める確率は $\frac{24}{120} = \frac{1}{5}$。

(b) 取り出した球の色が2種類である確率

- 全体から「3種類の場合」と「1種類の場合」を除いた場合を考えるのが難しいので、2種類の場合を直接計算する。

- 2種類の場合の数は下記。

- 白+赤：$_{1}C_{1} \times _{2}C_{2} = 1$

- 白+青：$_{1}C_{1} \times _{3}C_{2} = 3$

- 白+黒：$_{1}C_{1} \times _{4}C_{2} = 6$

- 赤+青：$_{2}C_{1} \times _{3}C_{2} + _{2}C_{2} \times _{3}C_{1} = 2 \times 3 + 1 \times 3 = 9$

- 赤+黒：$_{2}C_{1} \times _{4}C_{2} + _{2}C_{2} \times _{4}C_{1} = 2 \times 6 + 1 \times 4 = 16$

- 青+黒：$_{3}C_{1} \times _{4}C_{2} + _{3}C_{2} \times _{4}C_{1} = 3 \times 6 + 3 \times 4 = 30$

- 求める確率は$\frac{1+3+6+9+16+30}{120} = \frac{65}{120} = \frac{13}{24}$。

(c) 白球を取り出さず、青球を少なくとも1個取り出す確率

- 白球を取り出さないので、残りの9個から3個を選ぶ。その総数は $_{9}C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$通り。

- 青球を全く取り出さない場合（赤と黒から3個選ぶ）は、 $_{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通り。

- 青球を少なくとも1個取り出す場合は $84 - 20 = 64$通り。

- よって、求める確率は $\frac{64}{120} = \frac{8}{15}$。

3. 最終的な答え

(1)

- 先頭と最後尾が大人になる確率: $\frac{5}{12}$

- 子供3人が全員隣り合う確率: $\frac{1}{12}$

- 子供の前後が必ず大人になる確率: $\frac{5}{12}$

(2)

- 取り出した球の色がすべて異なる確率: $\frac{1}{5}$

- 取り出した球の色が2種類である確率: $\frac{13}{24}$

- 白球を取り出さず、青球を少なくとも1個取り出す確率: $\frac{8}{15}$