工場Aで製造された製品Pの重さについて、100個の標本を抽出し測定したデータが与えられている。 (1) 標本平均$\bar{X}$と標本分散$\sigma^2$を求める。 (2) 母集団全体の母平均を$m$としたとき、標本平均$\bar{X}$が従う正規分布を求める。また、標準化変数$Z$を求める。 (3) 正規分布表を用いて、信頼度95%および98%の信頼区間を求め、信頼区間の幅の比を求める。

1. 問題の内容

工場Aで製造された製品Pの重さについて、100個の標本を抽出し測定したデータが与えられている。

(1) 標本平均$\bar{X}$と標本分散$\sigma^2$を求める。

(2) 母集団全体の母平均を$m$としたとき、標本平均$\bar{X}$が従う正規分布を求める。また、標準化変数$Z$を求める。

(3) 正規分布表を用いて、信頼度95%および98%の信頼区間を求め、信頼区間の幅の比を求める。

2. 解き方の手順

(1)

標本平均$\bar{X}$は、各重さに個数をかけて合計し、標本数で割ることで求められる。

$\bar{X} = \frac{45.0 \times 2 + 45.1 \times 21 + 45.2 \times 56 + 45.3 \times 18 + 45.4 \times 2 + 45.5 \times 1}{100} = \frac{4519}{100} = 45.19$

標本分散$\sigma^2$は、各重みと標本平均の差の二乗に個数をかけて合計し、標本数で割ることで求められる。

$\sigma^2 = \frac{(45.0 - 45.19)^2 \times 2 + (45.1 - 45.19)^2 \times 21 + (45.2 - 45.19)^2 \times 56 + (45.3 - 45.19)^2 \times 18 + (45.4 - 45.19)^2 \times 2 + (45.5 - 45.19)^2 \times 1}{100} = \frac{0.0361 \times 2 + 0.0081 \times 21 + 0.0001 \times 56 + 0.0121 \times 18 + 0.0441 \times 2 + 0.0961 \times 1}{100} = \frac{0.0722+0.1701+0.0056+0.2178+0.0882+0.0961}{100}=\frac{0.64}{100} = 0.065$

(2)

標本平均$\bar{X}$は、正規分布$N(m, \frac{\sigma^2}{n})$に従う。

ここで、$n=100$なので、$\bar{X}$は$N(m, \frac{0.065}{100}) = N(m, 0.00065)$に従う。

よって、$\bar{X}$は$N(m, 0.025495^2)$に従う。

標準化変数$Z$は、 $Z = \frac{\bar{X} - m}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}} = \frac{\bar{X} - m}{0.025495}$

(3)

正規分布表から、 $P(-k \le Z \le k) = 0.95$ を満たす$k$は$1.96$である。

$\bar{X} = 45.19$のとき、母平均$m$に対する信頼度95%の信頼区間は、$\bar{X} - k \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \bar{X} + k \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$で与えられる。

$45.19 - 1.96 \times 0.025495 \le m \le 45.19 + 1.96 \times 0.025495$

$45.19 - 0.05 \le m \le 45.19 + 0.05$

$45.14 \le m \le 45.24$

正規分布表から、$P(-k' \le Z \le k') = 0.98$を満たす$k'$は$2.33$である。

信頼度98%の信頼区間の幅は$2 \times 2.33 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

信頼度95%の信頼区間の幅は$2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

幅の比は$\frac{2.33}{1.96} = 1.18877 \approx 1.19$

3. 最終的な答え

(1) アイ.ウ = 45.19, エオカキ = 0.065

(2) クケコ = 0.0255

(3) サ.シス = 1.96, セソタ = 45.14, チッテ = 45.24, ト.ナニ = 2.33, ヨソ = 1.19