袋Aには1から50までの数字が書かれたカードが、袋Bには51から100までの数字が書かれたカードが入っている。それぞれの袋から1枚ずつカードを取り出すとき、以下の確率を求める。 (1) 袋Aから取り出したカードが2桁の素数である確率、および2の倍数または3の倍数である確率 (2) 袋Bから取り出したカードが3の倍数でない確率 (3) 取り出した2枚のカードに書かれた数字がともに3の倍数である確率、および2枚のカードに書かれた数字の積が9の倍数である確率

1. 問題の内容

袋Aには1から50までの数字が書かれたカードが、袋Bには51から100までの数字が書かれたカードが入っている。それぞれの袋から1枚ずつカードを取り出すとき、以下の確率を求める。

(1) 袋Aから取り出したカードが2桁の素数である確率、および2の倍数または3の倍数である確率

(2) 袋Bから取り出したカードが3の倍数でない確率

(3) 取り出した2枚のカードに書かれた数字がともに3の倍数である確率、および2枚のカードに書かれた数字の積が9の倍数である確率

2. 解き方の手順

(1)

まず、1から50までの数字の中で2桁の素数を数える。2桁の素数は、11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47の11個である。

したがって、確率は $\frac{11}{50}$。

次に、2の倍数または3の倍数の数を数える。

2の倍数は $\lfloor \frac{50}{2} \rfloor = 25$個。

3の倍数は $\lfloor \frac{50}{3} \rfloor = 16$個。

6の倍数は $\lfloor \frac{50}{6} \rfloor = 8$個。

2の倍数または3の倍数の数は、25 + 16 - 8 = 33個。

したがって、確率は $\frac{33}{50}$。

(2)

51から100までの数字の中で3の倍数の数を数える。

3の倍数は $\lfloor \frac{100}{3} \rfloor - \lfloor \frac{50}{3} \rfloor = 33 - 16 = 17$個。

3の倍数でない数は、50 - 17 = 33個。

したがって、確率は $\frac{33}{50}$。

(3)

袋Aから3の倍数が出る確率は $\frac{16}{50}$。

袋Bから3の倍数が出る確率は $\frac{17}{50}$。

ともに3の倍数である確率は $\frac{16}{50} \times \frac{17}{50} = \frac{272}{2500} = \frac{68}{625}$。

次に、積が9の倍数になる場合を考える。

両方とも3の倍数の場合は既に計算済み。

片方だけが3の倍数の場合もある。

袋Aが3の倍数でなく、袋Bが3の倍数である確率は、$\frac{34}{50} \times \frac{17}{50} = \frac{578}{2500}$。

袋Aが3の倍数で、袋Bが3の倍数でない確率は、$\frac{16}{50} \times \frac{33}{50} = \frac{528}{2500}$。

さらに、少なくとも一つが9の倍数である必要がある。

袋Aから9の倍数が出る確率は$\lfloor \frac{50}{9} \rfloor = 5$個で$\frac{5}{50}$。

袋Bから9の倍数が出る確率は$\lfloor \frac{100}{9} \rfloor - \lfloor \frac{50}{9} \rfloor = 11-5 = 6$個で$\frac{6}{50}$。

両方3の倍数の確率+Aのみ3の倍数でない確率+Bのみ3の倍数でない確率を計算するのは難しい。

積が9の倍数になるのは、

(i) 両方とも3の倍数の場合

(ii) 片方が9の倍数の場合

(iii) 片方が3の倍数、もう片方が9の倍数

すでに(i)は計算済み。$\frac{16}{50} \times \frac{17}{50}$

片方が9の倍数の場合は

$\frac{5}{50}\frac{44}{50}+\frac{6}{50}\frac{49}{50} = \frac{220+294}{2500} = \frac{514}{2500}$

これは違う気がする。

両方3の倍数の確率は$\frac{272}{2500}$

Aのみ9の倍数の確率は$\frac{5}{50} \times \frac{17}{50} = \frac{85}{2500}$

Bのみ9の倍数の確率は$\frac{16}{50} \times \frac{6}{50} = \frac{96}{2500}$

Aが9の倍数でないが3の倍数である確率は$\frac{11}{50}$

Bが9の倍数でないが3の倍数である確率は$\frac{11}{50}$

Aが3の倍数でない確率は $\frac{34}{50}$

Bが3の倍数でない確率は $\frac{33}{50}$

Aが9の倍数、Bが任意 $\frac{5}{50} \times 1 = \frac{5}{50}$

Bが9の倍数、Aが任意 $\frac{6}{50} \times 1 = \frac{6}{50}$

両方3の倍数 $\frac{16}{50} \times \frac{17}{50} = \frac{272}{2500}$

$\frac{5}{50}\frac{33}{50}+\frac{6}{50}\frac{34}{50}$

=$\frac{165}{2500}+\frac{204}{2500}$

=$\frac{369}{2500}$

$\frac{272+369}{2500} = \frac{641}{2500}$

3. 最終的な答え

(1)

アイ: 11/50

ウエ: 33/50

(2)

オカ: 33/50

(3)

キク: 68/625

ケコサシ: 641/2500