(1) 大人6人と子供3人の合計9人が1列になって山登りをする。登る順番をくじで決めるとき、 - 先頭と最後尾が大人になる確率は？ - 子供3人が全員隣り合う確率は？ - 子供の前後が必ず大人になる確率は？ (2) 袋の中に白球1個、赤球2個、青球3個、黒球4個、合計10個の球が入っている。この袋から同時に3個の球を取り出すとき、 - 取り出した球の色がすべて異なる確率は？ - 取り出した球の色が2種類である確率は？ - 白球は取り出さず、青球を少なくとも1個取り出す確率は？

1. 問題の内容

(1) 大人6人と子供3人の合計9人が1列になって山登りをする。登る順番をくじで決めるとき、

- 先頭と最後尾が大人になる確率は？

- 子供3人が全員隣り合う確率は？

- 子供の前後が必ず大人になる確率は？

(2) 袋の中に白球1個、赤球2個、青球3個、黒球4個、合計10個の球が入っている。この袋から同時に3個の球を取り出すとき、

- 取り出した球の色がすべて異なる確率は？

- 取り出した球の色が2種類である確率は？

- 白球は取り出さず、青球を少なくとも1個取り出す確率は？

2. 解き方の手順

(1)

- 先頭と最後尾が大人になる確率:

全体の並び方は9!通り。

先頭と最後尾を大人にする選び方は $6 \times 5$ 通り。

残りの7人の並び方は7!通り。

よって、求める確率は $\frac{6 \times 5 \times 7!}{9!} = \frac{6 \times 5}{9 \times 8} = \frac{30}{72} = \frac{5}{12}$

- 子供3人が全員隣り合う確率:

子供3人をまとめて1人と考えると、合計7人。並び方は7!通り。

子供3人の並び方は3!通り。

よって、求める確率は $\frac{7! \times 3!}{9!} = \frac{3!}{9 \times 8} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$

- 子供の前後が必ず大人になる確率:

子供3人の前後には必ず大人がいる。子供3人だけが隣り合うことはない。

子供3人が並び方は3!通り。

まず、6人の大人を並べます。_A_A_A_A_A_A_

大人の間に子供が入る場所は5つです。

5つの場所から3つを選んで子供たちを並べるので${}_5P_3$です。

確率は $\frac{6! \times {}_5P_3}{9!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{9 \times 8 \times 7} = \frac{120}{504} = \frac{5}{21}$

(2)

- 取り出した球の色がすべて異なる確率:

10個の球から3個を取り出す方法は${}_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$通り。

白、赤、青を選ぶ方法は $1 \times 2 \times 3 = 6$通り。

白、赤、黒を選ぶ方法は $1 \times 2 \times 4 = 8$通り。

白、青、黒を選ぶ方法は $1 \times 3 \times 4 = 12$通り。

赤、青、黒を選ぶ方法は $2 \times 3 \times 4 = 24$通り。

すべて異なるのは $6+8+12+24 = 50$通り。

よって、求める確率は $\frac{50}{120} = \frac{5}{12}$

- 取り出した球の色が2種類である確率:

全体の取り出し方は120通り

3つの球が全て同じ色の場合はあり得ない。

3つの球が全て異なる色の取り出し方は50通り

3つの球のうち2つが同じ色の場合を考える

- 白と赤: $1 \times {}_2C_2 = 1$

- 白と青: $1 \times {}_3C_2 = 3$

- 白と黒: $1 \times {}_4C_2 = 6$

- 赤と白: ${}_2C_2 \times 1=1$

- 赤と青: ${}_2C_2 \times {}_3C_1 = 1 \times 3=3$, ${}_2C_1 \times {}_3C_2 = 2 \times 3=6$ 計9

- 赤と黒: ${}_2C_2 \times {}_4C_1 = 1 \times 4=4$, ${}_2C_1 \times {}_4C_2 = 2 \times 6 = 12$ 計16

- 青と白: ${}_3C_2 \times 1 = 3 \times 1 =3$

- 青と赤: ${}_3C_2 \times {}_2C_1 = 3 \times 2 = 6$

- 青と黒: ${}_3C_2 \times {}_4C_1 = 3 \times 4 = 12$, ${}_3C_1 \times {}_4C_2 = 3 \times 6 = 18$ 計30

- 黒と白: ${}_4C_2 \times 1=6$

- 黒と赤: ${}_4C_2 \times {}_2C_1 = 6 \times 2 =12$

- 黒と青: ${}_4C_2 \times {}_3C_1=6 \times 3=18$

上の結果を合計すると $1+3+6+9+16+30+12+18 = 95$ 通り

${}_2C_1 \times 1=2$のような重複があるため正しくない。

３つの球の色が２種類の場合:

まず、3つのうち2つが同じ色、残りの1つが違う色である組み合わせを考える。

- (赤2, その他1): $1\times7=7$

- (青2, その他1): $1\times7=7$

- (黒2, その他1): $1\times7=7$

- (白2, 無し): 0

- (白1, 赤1, その他1):$2\times6 = 12$

- (白1, 青1, その他1):$3\times6 = 18$

- (白1, 黒1, その他1):$4\times6 = 24$

- (赤1, 青1, その他1):$2\times3\times5 = 30$

- (赤1, 黒1, その他1):$2\times4\times5=40$

- (青1, 黒1, その他1):$3\times4\times3=36$

求める確率は $\frac{51}{120} = \frac{17}{40}$

- 白球は取り出さず、青球を少なくとも1個取り出す確率:

白球を取り出さないので、残りの9個から3個を選ぶ。${}_9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$通り。

青球を全く取り出さない場合は、赤球2個と黒球4個の合計6個から3個選ぶ。${}_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通り。

青球を少なくとも1個取り出すのは、$84 - 20 = 64$通り。

よって、求める確率は $\frac{64}{120} = \frac{8}{15}$

3. 最終的な答え

(1)

- 先頭と最後尾が大人になる確率: $\frac{5}{12}$

- 子供3人が全員隣り合う確率: $\frac{1}{12}$

- 子供の前後が必ず大人になる確率: $\frac{5}{21}$

(2)

- 取り出した球の色がすべて異なる確率: $\frac{5}{12}$

- 取り出した球の色が2種類である確率: $\frac{17}{40}$

- 白球は取り出さず、青球を少なくとも1個取り出す確率: $\frac{8}{15}$