ある会社で120人の社員にアンケートを行った結果、A新聞の購読者は80人、B新聞の購読者は52人、C新聞の購読者は55人だった。また、どの新聞も購読していない者は15人、1紙だけ購読している者は30人だった。このとき、A新聞、B新聞、C新聞の3紙とも購読している人数を求める。

1. 問題の内容

ある会社で120人の社員にアンケートを行った結果、A新聞の購読者は80人、B新聞の購読者は52人、C新聞の購読者は55人だった。また、どの新聞も購読していない者は15人、1紙だけ購読している者は30人だった。このとき、A新聞、B新聞、C新聞の3紙とも購読している人数を求める。

2. 解き方の手順

ベン図を使って考える。

まず、全体集合の要素数を $U$ とすると、$U = 120$ である。

A新聞の購読者を $A$ 、B新聞の購読者を $B$ 、C新聞の購読者を $C$ とする。

それぞれの要素数は、

$|A| = 80$

$|B| = 52$

$|C| = 55$

どの新聞も購読していない人数は $|A \cup B \cup C|^c = 15$

1紙だけ購読している人数は 30 である。

$|A \cup B \cup C| = U - |A \cup B \cup C|^c = 120 - 15 = 105$

和集合の公式を使うと、

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C|$

$105 = 80 + 52 + 55 - (|A \cap B| + |B \cap C| + |C \cap A|) + |A \cap B \cap C|$

$105 = 187 - (|A \cap B| + |B \cap C| + |C \cap A|) + |A \cap B \cap C|$

$|A \cap B| + |B \cap C| + |C \cap A| - |A \cap B \cap C| = 187 - 105 = 82$

1紙のみ購読している人数は30なので、

$|A| + |B| + |C| - 2(|A \cap B| + |B \cap C| + |C \cap A|) + 3|A \cap B \cap C| = 30$

1紙のみの購読者数は、全体の購読者数から2紙以上購読している人数を引けば良い。

2紙のみ購読している人数を $x$ 、3紙購読している人数を $y$ とすると、

$|A \cap B| + |B \cap C| + |C \cap A| - 3|A \cap B \cap C| = x$

$x = |A \cap B| + |B \cap C| + |C \cap A| - 3y$

1紙のみの購読者数 = $|A| + |B| + |C| - 2x - 3y = 30$

$80 + 52 + 55 - 2x - 3y = 30$

$187 - 2x - 3y = 30$

$2x + 3y = 157$

$|A \cap B| + |B \cap C| + |C \cap A| - |A \cap B \cap C| = 82$より、

$x + 2y = 82$

$2x + 4y = 164$

$2x + 3y = 157$

$y = 7$

したがって、3紙とも購読している人数は7人。

3. 最終的な答え

7