10本のくじがあり、そのうち3本が当たりくじである。 (1) 2本を同時に引くとき、2本とも当たりくじである確率を求める。 (2) 3本を同時に引くとき、3本とも外れくじである確率を求める。

1. 問題の内容

10本のくじがあり、そのうち3本が当たりくじである。

(1) 2本を同時に引くとき、2本とも当たりくじである確率を求める。

(2) 3本を同時に引くとき、3本とも外れくじである確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2本とも当たりくじである確率

まず、10本から2本を引く場合の総数を求める。これは組み合わせの問題なので、$_{10}C_2$で計算できる。

次に、当たりくじ3本から2本を選ぶ場合の数を求める。これは$_{3}C_2$で計算できる。

求める確率は、当たりくじ2本を引く場合の数を、2本を引く場合の総数で割ったものになる。

$_{10}C_2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

$_{3}C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$

したがって、2本とも当たりくじである確率は、

$\frac{3}{45} = \frac{1}{15}$

(2) 3本とも外れくじである確率

外れくじは10本 - 3本 = 7本である。

10本から3本を引く場合の総数を求める。これは組み合わせの問題なので、$_{10}C_3$で計算できる。

次に、外れくじ7本から3本を選ぶ場合の数を求める。これは$_{7}C_3$で計算できる。

求める確率は、外れくじ3本を引く場合の数を、3本を引く場合の総数で割ったものになる。

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

$_{7}C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

したがって、3本とも外れくじである確率は、

$\frac{35}{120} = \frac{7}{24}$

3. 最終的な答え

(1) 2本とも当たりくじである確率: $\frac{1}{15}$

(2) 3本とも外れくじである確率: $\frac{7}{24}$