コインを4回投げて、表の出る回数に100円をかけた金額がもらえるゲームがある。このゲームでもらえる金額の期待値を求めよ。また、このゲームの参加料が150円のとき、このゲームに参加することは得であるといえるか。

1. 問題の内容

コインを4回投げて、表の出る回数に100円をかけた金額がもらえるゲームがある。このゲームでもらえる金額の期待値を求めよ。また、このゲームの参加料が150円のとき、このゲームに参加することは得であるといえるか。

2. 解き方の手順

コインを4回投げる試行において、表が出る回数は0回、1回、2回、3回、4回のいずれかである。それぞれの回数が出る確率を計算する。

これは二項分布に従う。1回の試行で表が出る確率を $p = \frac{1}{2}$ とすると、4回の試行でk回表が出る確率は

$P(X=k) = {}_4C_k p^k (1-p)^{4-k} = {}_4C_k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{4-k} = {}_4C_k (\frac{1}{2})^4 = \frac{{}_4C_k}{16}$

となる。ここで、${}_4C_k$ は二項係数である。

- 0回表が出る確率：$P(X=0) = \frac{{}_4C_0}{16} = \frac{1}{16}$

- 1回表が出る確率：$P(X=1) = \frac{{}_4C_1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

- 2回表が出る確率：$P(X=2) = \frac{{}_4C_2}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

- 3回表が出る確率：$P(X=3) = \frac{{}_4C_3}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

- 4回表が出る確率：$P(X=4) = \frac{{}_4C_4}{16} = \frac{1}{16}$

もらえる金額は、表が出た回数に100円をかけたものである。したがって、もらえる金額の期待値は

$E = 0 \times \frac{1}{16} + 100 \times \frac{4}{16} + 200 \times \frac{6}{16} + 300 \times \frac{4}{16} + 400 \times \frac{1}{16}$

$E = \frac{0 + 400 + 1200 + 1200 + 400}{16} = \frac{3200}{16} = 200$ (円)

このゲームの参加料が150円であるとき、期待値は200円なので、200円 - 150円 = 50円 得であるといえる。

3. 最終的な答え

アイウ：200

エ：1