袋 A には 1, 1, 2, 2 の 4 枚のカード、袋 B には 1, 2, 3, 3 の 4 枚のカードが入っています。 袋 A から 1 枚、袋 B から 1 枚カードを取り出し、袋 A から取り出したカードの数を $a$、袋 B から取り出したカードの数を $b$ とします。 (1) $a + b = 2$ となる確率を求めます。 (2) $a + b = 3$ となる確率を求め、さらに $a + b$ の期待値を求めます。

1. 問題の内容

袋 A には 1, 1, 2, 2 の 4 枚のカード、袋 B には 1, 2, 3, 3 の 4 枚のカードが入っています。

袋 A から 1 枚、袋 B から 1 枚カードを取り出し、袋 A から取り出したカードの数を $a$、袋 B から取り出したカードの数を $b$ とします。

(1) $a + b = 2$ となる確率を求めます。

(2) $a + b = 3$ となる確率を求め、さらに $a + b$ の期待値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a + b = 2$ となるのは、$a = 1$ かつ $b = 1$ の場合のみです。

$a = 1$ となる確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ です。

$b = 1$ となる確率は $\frac{1}{4}$ です。

したがって、$a + b = 2$ となる確率は、

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

(2) $a + b = 3$ となるのは、$a = 1$ かつ $b = 2$、または $a = 2$ かつ $b = 1$ の場合です。

$a = 1$ となる確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ です。

$b = 2$ となる確率は $\frac{1}{4}$ です。

$a = 2$ となる確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ です。

$b = 1$ となる確率は $\frac{1}{4}$ です。

したがって、$a + b = 3$ となる確率は、

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

次に、$a + b$ の期待値を求めます。

$a$ の期待値は $1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$

$b$ の期待値は $1 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{4} + 3 \times \frac{2}{4} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{6}{4} = \frac{9}{4}$

したがって、$a + b$ の期待値は、

$\frac{3}{2} + \frac{9}{4} = \frac{6}{4} + \frac{9}{4} = \frac{15}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $a + b = 2$ となる確率は $\frac{1}{8}$

(2) $a + b = 3$ となる確率は $\frac{1}{4}$、$a + b$ の期待値は $\frac{15}{4}$