まず、学生AからJのテストの合計点データが与えられ、学生B（90点）の偏差値を計算する必要があります。 次に、12人の生徒の小テストのデータが与えられ、最初の6人の平均点と分散、残りの6人の平均点と分散が与えられたときに、全体の分散を計算する必要があります。

1. 問題の内容

まず、学生AからJのテストの合計点データが与えられ、学生B（90点）の偏差値を計算する必要があります。

次に、12人の生徒の小テストのデータが与えられ、最初の6人の平均点と分散、残りの6人の平均点と分散が与えられたときに、全体の分散を計算する必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 学生Bの偏差値を求める。

偏差値を求める公式は、

$偏差値 = \frac{得点 - 平均点}{標準偏差} \times 10 + 50$

まず、平均点を計算します。

$平均点 = \frac{60 + 90 + 50 + 40 + 40 + 100 + 40 + 60 + 70 + 50}{10} = \frac{600}{10} = 60$

次に、標準偏差を計算します。標準偏差は分散の平方根です。

分散を計算するため、各データの平均からの偏差の2乗を合計し、データ数で割ります。

$分散 = \frac{(60-60)^2 + (90-60)^2 + (50-60)^2 + (40-60)^2 + (40-60)^2 + (100-60)^2 + (40-60)^2 + (60-60)^2 + (70-60)^2 + (50-60)^2}{10} = \frac{0 + 900 + 100 + 400 + 400 + 1600 + 400 + 0 + 100 + 100}{10} = \frac{4000}{10} = 400$

$標準偏差 = \sqrt{分散} = \sqrt{400} = 20$

学生Bの偏差値は、

$偏差値 = \frac{90 - 60}{20} \times 10 + 50 = \frac{30}{20} \times 10 + 50 = 1.5 \times 10 + 50 = 15 + 50 = 65$

(2) 12人の生徒の小テスト全体の分散を求める。

最初の6人の平均点は6、分散は10です。残りの6人の平均点は4、分散は6です。

全体の平均点を計算します。

$全体の平均点 = \frac{6 \times 6 + 6 \times 4}{12} = \frac{36 + 24}{12} = \frac{60}{12} = 5$

全体の分散を計算します。

$全体の分散 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

ここで、最初の6人の分散は10なので、$\sum_{i=1}^{6} (x_i - 6)^2 = 6 \times 10 = 60$

残りの6人の分散は6なので、$\sum_{i=7}^{12} (x_i - 4)^2 = 6 \times 6 = 36$

$全体の分散 = \frac{\sum_{i=1}^{6} (x_i - 5)^2 + \sum_{i=7}^{12} (x_i - 5)^2}{12}$

$\sum_{i=1}^{6} (x_i - 5)^2 = \sum_{i=1}^{6} ((x_i - 6) + 1)^2 = \sum_{i=1}^{6} (x_i - 6)^2 + 2\sum_{i=1}^{6} (x_i - 6) + \sum_{i=1}^{6} 1 = 60 + 2 \times 6 \times (6 - 6) = \sum_{i=1}^6 (x_i-6)^2 + 6 (6-5)^2 = 60+6(1)^2=60+6 = 66$

$\sum_{i=1}^6 (x_i-5)^2= \sum_{i=1}^6 (x_i-6+1)^2= \sum_{i=1}^6 (x_i-6)^2 + 2\sum_{i=1}^6 (x_i-6) + \sum_{i=1}^6 (1)^2= 6(10)+2 \times 0 + 6= 60+6 =66$

Similarly $\sum_{i=7}^{12} (x_i-5)^2 = \sum_{i=7}^{12} (x_i-4-1)^2 = \sum_{i=7}^{12} (x_i-4)^2 -2\sum_{i=7}^{12}(x_i-4) + \sum_{i=7}^{12} 1= 6(6) + 2(0)+6 = 36+6=42$

Therefore Variance= $\frac{66+42}{12}=\frac{108}{12} =9$

3. 最終的な答え

学生Bの偏差値は 65 です。

12人の生徒の小テスト全体の分散は 9 です。