12人の生徒の数学の小テストの得点データがあります。そのうち6人の平均点は6で分散は10、残りの6人の平均点は4で分散は6です。このとき、12人全体の分散を求めます。また、グラフから予約人数のデータの中央値と平均値を求めます。

1. 問題の内容

12人の生徒の数学の小テストの得点データがあります。そのうち6人の平均点は6で分散は10、残りの6人の平均点は4で分散は6です。このとき、12人全体の分散を求めます。また、グラフから予約人数のデータの中央値と平均値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 全体の分散を求める手順：

まず、データの分散の公式を理解します。分散 $V$ は、各データの二乗の平均 $E[X^2]$ から平均の二乗 $(E[X])^2$ を引いたものです。

$V = E[X^2] - (E[X])^2$

6人のグループAとグループBのデータをそれぞれ$X_i$、$Y_i$とします。それぞれの平均を$E[X]$、$E[Y]$、分散を$V_X$、$V_Y$とします。与えられた情報から、$E[X] = 6$、$V_X = 10$、$E[Y] = 4$、$V_Y = 6$です。

グループAについて、$V_X = E[X^2] - (E[X])^2$なので、$E[X^2] = V_X + (E[X])^2 = 10 + 6^2 = 10 + 36 = 46$です。

同様にグループBについて、$E[Y^2] = V_Y + (E[Y])^2 = 6 + 4^2 = 6 + 16 = 22$です。

全体の平均$E$は、

$E = \frac{6 \times E[X] + 6 \times E[Y]}{12} = \frac{6 \times 6 + 6 \times 4}{12} = \frac{36 + 24}{12} = \frac{60}{12} = 5$

全体の二乗の平均$E[Z^2]$は、

$E[Z^2] = \frac{6 \times E[X^2] + 6 \times E[Y^2]}{12} = \frac{6 \times 46 + 6 \times 22}{12} = \frac{276 + 132}{12} = \frac{408}{12} = 34$

全体の分散 $V$は、

$V = E[Z^2] - (E)^2 = 34 - 5^2 = 34 - 25 = 9$

(2) グラフから中央値と平均値を求める手順：

グラフから、各予約人数ごとの組数は次のようになります。

0人: 3組

1人: 6組

2人: 9組

3人: 3組

4人: 7組

5人: 1組

6人: 1組

合計: 30組

中央値：

30組の中央値は、15番目と16番目の組の人数の中間値です。

0人: 3組

1人: 3 + 6 = 9組

2人: 9 + 9 = 18組

15番目と16番目の組は2人なので、中央値は2です。

平均値：

平均値は、(各人数 * 組数) の合計を組数で割ったものです。

(0 * 3 + 1 * 6 + 2 * 9 + 3 * 3 + 4 * 7 + 5 * 1 + 6 * 1) / 30 = (0 + 6 + 18 + 9 + 28 + 5 + 6) / 30 = 72 / 30 = 2.4

3. 最終的な答え

全体の分散は9です。

中央値は2人です。

平均値は2.4人です。