2個のサイコロを同時に振ったとき、出た目の和 $X+Y$ の確率分布、平均、分散を求める。

1. 問題の内容

2個のサイコロを同時に振ったとき、出た目の和 $X+Y$ の確率分布、平均、分散を求める。

2. 解き方の手順

まず、2つのサイコロの目の和が取りうる値を考えます。最小値は $1+1=2$、最大値は $6+6=12$ です。したがって、$X+Y$ は 2 から 12 の整数値をとります。

次に、それぞれの和になる確率を計算します。サイコロの目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通りあります。

* $X+Y=2$ となるのは (1, 1) の1通りなので、確率は $\frac{1}{36}$

* $X+Y=3$ となるのは (1, 2), (2, 1) の2通りなので、確率は $\frac{2}{36}$

* $X+Y=4$ となるのは (1, 3), (2, 2), (3, 1) の3通りなので、確率は $\frac{3}{36}$

* $X+Y=5$ となるのは (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) の4通りなので、確率は $\frac{4}{36}$

* $X+Y=6$ となるのは (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) の5通りなので、確率は $\frac{5}{36}$

* $X+Y=7$ となるのは (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) の6通りなので、確率は $\frac{6}{36}$

* $X+Y=8$ となるのは (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) の5通りなので、確率は $\frac{5}{36}$

* $X+Y=9$ となるのは (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) の4通りなので、確率は $\frac{4}{36}$

* $X+Y=10$ となるのは (4, 6), (5, 5), (6, 4) の3通りなので、確率は $\frac{3}{36}$

* $X+Y=11$ となるのは (5, 6), (6, 5) の2通りなので、確率は $\frac{2}{36}$

* $X+Y=12$ となるのは (6, 6) の1通りなので、確率は $\frac{1}{36}$

次に、平均 $E(X+Y)$ を計算します。

$E(X+Y) = \sum_{i=2}^{12} i \cdot P(X+Y=i)$

$E(X+Y) = 2\cdot\frac{1}{36} + 3\cdot\frac{2}{36} + 4\cdot\frac{3}{36} + 5\cdot\frac{4}{36} + 6\cdot\frac{5}{36} + 7\cdot\frac{6}{36} + 8\cdot\frac{5}{36} + 9\cdot\frac{4}{36} + 10\cdot\frac{3}{36} + 11\cdot\frac{2}{36} + 12\cdot\frac{1}{36} = \frac{252}{36} = 7$

最後に、分散 $V(X+Y)$ を計算します。

$V(X+Y) = E((X+Y)^2) - (E(X+Y))^2$

まず、$E((X+Y)^2)$ を計算します。

$E((X+Y)^2) = \sum_{i=2}^{12} i^2 \cdot P(X+Y=i)$

$E((X+Y)^2) = 4\cdot\frac{1}{36} + 9\cdot\frac{2}{36} + 16\cdot\frac{3}{36} + 25\cdot\frac{4}{36} + 36\cdot\frac{5}{36} + 49\cdot\frac{6}{36} + 64\cdot\frac{5}{36} + 81\cdot\frac{4}{36} + 100\cdot\frac{3}{36} + 121\cdot\frac{2}{36} + 144\cdot\frac{1}{36} = \frac{1974}{36} = \frac{329}{6}$

$V(X+Y) = \frac{329}{6} - 7^2 = \frac{329}{6} - 49 = \frac{329 - 294}{6} = \frac{35}{6}$

3. 最終的な答え

確率分布は上記の通り。

平均：7

分散：$\frac{35}{6}$