赤玉4個と白玉2個が入った袋から玉を1個取り出し、色を見てから袋に戻す。この試行を3回繰り返すとき、赤玉が2回出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

赤玉4個と白玉2個が入った袋から玉を1個取り出し、色を見てから袋に戻す。この試行を3回繰り返すとき、赤玉が2回出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は反復試行の確率の問題です。

* 1回の試行で赤玉が出る確率を求めます。

袋の中には全部で4+2=6個の玉が入っています。そのうち赤玉は4個なので、赤玉が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ です。

したがって、白玉が出る確率は $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ です。

* 3回の試行で赤玉が2回出る確率を求めます。

3回の試行で赤玉が2回出る組み合わせは、例えば「赤、赤、白」や「赤、白、赤」などがあります。

これらの組み合わせは、3回の試行から赤玉が出る2回を選ぶ組み合わせの数だけ存在します。

この組み合わせの数は $_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$ 通りです。

（$_nC_r$ は二項係数を表します。）

* それぞれの組み合わせの確率は、例えば「赤、赤、白」の場合、$\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$ です。

どの組み合わせも確率は同じなので、赤玉が2回出る確率は、

$3 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^1 = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{4}{9}$