袋の中に1から7までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っている。 (1) 袋から同時に2枚のカードを取り出すとき、取り出したカードの数字が両方とも偶数である確率を求める。 (2) 袋から1枚ずつ順番に2枚のカードを取り出す。1枚目のカードは袋に戻さず、1枚目の数字を十の位、2枚目の数字を一の位とする2桁の数を$a$とする。$a$が偶数である確率と、$a$が偶数であるという条件のもとで、$a$が4の倍数である条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に1から7までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っている。

(1) 袋から同時に2枚のカードを取り出すとき、取り出したカードの数字が両方とも偶数である確率を求める。

(2) 袋から1枚ずつ順番に2枚のカードを取り出す。1枚目のカードは袋に戻さず、1枚目の数字を十の位、2枚目の数字を一の位とする2桁の数を$a$とする。$a$が偶数である確率と、$a$が偶数であるという条件のもとで、$a$が4の倍数である条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、1から7までの数字の中で偶数は2, 4, 6の3つである。

袋から2枚のカードを取り出す組み合わせの総数は、$_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$通り。

取り出した2枚のカードが両方とも偶数である組み合わせの数は、$_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り。

よって、求める確率は $\frac{3}{21} = \frac{1}{7}$。

(2)

$a$が偶数であるためには、一の位の数字が偶数である必要がある。

まず、$a$が取りうる値の総数を計算する。1枚目のカードの選び方は7通り、2枚目のカードの選び方は6通りなので、$7 \times 6 = 42$通り。

次に、$a$が偶数となる場合の数を計算する。一の位のカードが偶数である必要がある。

- 1枚目が奇数の場合：1枚目は1, 3, 5, 7の4通り。2枚目は偶数から選ぶので3通り。この場合は$4 \times 3 = 12$通り。

- 1枚目が偶数の場合：1枚目は2, 4, 6の3通り。2枚目は残りの偶数から選ぶので2通り。この場合は$3 \times 2 = 6$通り。

したがって、$a$が偶数となる場合の数は$12 + 6 = 18$通り。

よって、$a$が偶数である確率は$\frac{18}{42} = \frac{3}{7}$。

次に、$a$が偶数であるという条件のもとで、$a$が4の倍数である条件付き確率を求める。

$a$が4の倍数となるのは、12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56, 64, 72, 76の11通りである。ただし、同じ数字の組み合わせは存在しないので、12, 16, 24, 32, 36, 44はあり得ない。

よって、4の倍数となるのは、24, 32, 36, 52, 56, 64, 72, 76のみとなる。

しかし、カードに44は存在しない。

aが偶数となるのは18通り。そのうち4の倍数となるのは、24, 32, 36, 52, 56, 64, 72, 76の8通り。

aが4の倍数である条件付き確率は$\frac{8}{18} = \frac{4}{9}$。

3. 最終的な答え

(1) 1/7

(2) $a$が偶数である確率：3/7

$a$が偶数であるとき、$a$が4の倍数である条件付き確率：4/9