確率変数 $X$ が正規分布 $N(10, 5^2)$ に従うとき、次の確率を求めます。 (1) $P(10 \le X \le 25)$ (2) $P(X \ge 20)$

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が正規分布 $N(10, 5^2)$ に従うとき、次の確率を求めます。

(1) $P(10 \le X \le 25)$

(2) $P(X \ge 20)$

2. 解き方の手順

まず、$X$ を標準化します。標準化された変数を $Z$ とすると、

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

ここで、$\mu = 10$ (平均) と $\sigma = 5$ (標準偏差) です。

(1) $P(10 \le X \le 25)$ を計算します。

$X = 10$ のとき、$Z = \frac{10 - 10}{5} = 0$

$X = 25$ のとき、$Z = \frac{25 - 10}{5} = \frac{15}{5} = 3$

したがって、$P(10 \le X \le 25) = P(0 \le Z \le 3)$ となります。

$P(0 \le Z \le 3)$ は、標準正規分布表を使って求めることができます。通常、標準正規分布表では $P(0 \le Z \le z)$ の値が与えられています。

ここでは、$P(0 \le Z \le 3) = 0.49865$ とします。(問題文には標準正規分布表の記載がないため、既知のものとします。)

(2) $P(X \ge 20)$ を計算します。

$X = 20$ のとき、$Z = \frac{20 - 10}{5} = \frac{10}{5} = 2$

したがって、$P(X \ge 20) = P(Z \ge 2)$ となります。

$P(Z \ge 2) = 0.5 - P(0 \le Z \le 2)$ です。

$P(0 \le Z \le 2) = 0.47725$ (問題文には標準正規分布表の記載がないため、既知のものとします。)

したがって、$P(Z \ge 2) = 0.5 - 0.47725 = 0.02275$

3. 最終的な答え

(1) $P(10 \le X \le 25) = 0.49865$

(2) $P(X \ge 20) = 0.02275$