大小中3つのサイコロを投げたとき、次のようになる場合の数を求める問題です。 (1) 目の値がすべて異なる場合 (2) 少なくとも2つのサイコロの目が同じである場合 (3) 目の積が3の倍数になる場合 (4) 目の和が奇数になる場合

1. 問題の内容

大小中3つのサイコロを投げたとき、次のようになる場合の数を求める問題です。

(1) 目の値がすべて異なる場合

(2) 少なくとも2つのサイコロの目が同じである場合

(3) 目の積が3の倍数になる場合

(4) 目の和が奇数になる場合

2. 解き方の手順

(1) 目の値がすべて異なる場合

サイコロはそれぞれ6つの目を持つので、3つのサイコロの目が全て異なる場合は、

$6 \times 5 \times 4 = 120$通りとなります。

(2) 少なくとも2つのサイコロの目が同じである場合

すべての目の出方の総数は $6 \times 6 \times 6 = 216$通りです。

すべての目が異なる場合は(1)より120通りなので、少なくとも2つのサイコロの目が同じである場合は、すべての目の出方からすべて異なる場合を引けばよい。

$216 - 120 = 96$通りとなります。

(3) 目の積が3の倍数になる場合

目の積が3の倍数になるのは、少なくとも1つのサイコロの目が3か6である場合です。

３つのサイコロの目の積が3の倍数にならないのは、全てのサイコロの目が1, 2, 4, 5のいずれかである場合です。この場合の数は $4 \times 4 \times 4 = 64$通りです。

したがって、目の積が3の倍数になる場合は、全体の目の出方から3の倍数にならない場合を引けばよいので、$216 - 64 = 152$通りとなります。

(4) 目の和が奇数になる場合

目の和が奇数になるのは、

(i) 3つとも奇数の場合

(ii) 1つが奇数で残りの2つが偶数の場合

の2パターンです。

(i) 3つとも奇数の場合、$3 \times 3 \times 3 = 27$通りです。

(ii) 1つが奇数で残りの2つが偶数の場合、奇数のサイコロの位置は3通りあり、奇数の目は3通り、偶数の目も3通りなので、$3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$通りです。

したがって、目の和が奇数になる場合は、 $27 + 81 = 108$通りとなります。

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 96通り

(3) 152通り

(4) 108通り