赤玉2個と白玉4個が入った袋から、玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す。この操作を4回繰り返したとき、赤玉がちょうど1回出る確率を求める。

1. 問題の内容

赤玉2個と白玉4個が入った袋から、玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す。この操作を4回繰り返したとき、赤玉がちょうど1回出る確率を求める。

2. 解き方の手順

この問題は反復試行の確率の問題です。

* 1回の試行で赤玉が出る確率を計算する。

* 4回の試行のうち、赤玉が1回出る組み合わせの数を計算する。

* 上記の確率と組み合わせの数を掛け合わせる。

まず、1回の試行で赤玉が出る確率 $p$ を計算します。

袋の中には赤玉2個と白玉4個が入っているので、合計6個の玉があります。

したがって、赤玉が出る確率は、

$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

となります。

次に、1回の試行で白玉が出る確率 $q$ を計算します。

$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

となります。

4回の試行のうち、赤玉が1回出る組み合わせの数は、二項係数で表され、$_4C_1$ または $\binom{4}{1}$ で計算できます。

$_4C_1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times (3 \times 2 \times 1)} = 4$

となります。

したがって、4回の試行で赤玉がちょうど1回出る確率は、二項分布の公式を用いて、

$P(\text{赤玉1回}) = \binom{4}{1} \times p^1 \times q^3 = 4 \times \left(\frac{1}{3}\right)^1 \times \left(\frac{2}{3}\right)^3$

となります。

これを計算すると、

$P(\text{赤玉1回}) = 4 \times \frac{1}{3} \times \frac{8}{27} = \frac{32}{81}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{32}{81}$