画像に写っている数学の問題を解く。問題は全部で6問あり、順列、組み合わせ、確率に関する問題が含まれている。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題を解く。問題は全部で6問あり、順列、組み合わせ、確率に関する問題が含まれている。

2. 解き方の手順

以下、各問題の解き方をステップごとに説明する。

1. (1) ${}_{5}P_{2}$を計算する。

${}_{5}P_{2} = 5 \times 4 = 20$

(2) ${}_{6}P_{4}$を計算する。

${}_{6}P_{4} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

(3) ${}_{6}C_{4}$を計算する。

${}_{6}C_{4} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15$

(4) ${}_{7}C_{7}$を計算する。

${}_{7}C_{7} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1$

2. (1) ${}_{7}P_{4}$を計算する。

${}_{7}P_{4} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ 通り

(2) 一の位の数の選び方は3通り。残りの3桁の数の並べ方は${}_{6}P_{3}$通り。

よって、 $3 \times {}_{6}P_{3} = 3 \times 6 \times 5 \times 4 = 3 \times 120 = 360$ 通り

3. ${}_{15}P_{3}$を計算する。

${}_{15}P_{3} = 15 \times 14 \times 13 = 2730$ 通り

4. 男子5人から2人を選ぶ場合の数は${}_{5}C_{2}$通り。女子7人から3人を選ぶ場合の数は${}_{7}C_{3}$通り。

男子2人と女子3人をともに選ぶので、

${}_{5}C_{2} \times {}_{7}C_{3} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 35 = 350$ 通り

5. 斜め5本の線から2本選ぶ場合の数は${}_{5}C_{2}$通り。横5本の線から2本選ぶ場合の数は${}_{5}C_{2}$通り。

ともに選ぶので、${}_{5}C_{2} \times {}_{5}C_{2} = 10 \times 10 = 100$ 通り

6. (1) どの最短ルートにおいても東に5区画、北に4区画移動する必要がある。

求める道順の総数は、→→→→→↑↑↑↑の9個の記号を1列に並べる順列の総数に等しい。

よって、${}_{9}C_{5} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126$ 通り

(2) AからPまでと、PからBまでの行程に分けて考える。

AからPまでの道順の総数は${}_{4}C_{1}$通り。PからBまでの道順の総数は${}_{5}C_{1}$通り。

両方の行程でともに道順を選ぶので、${}_{4}C_{1} \times {}_{5}C_{1} = 4 \times 5 = 20$ 通り

3. 最終的な答え

1. (1) 20

(2) 360

(3) 15

(4) 1

2. (1) 840通り

(2) 360通り

3. 2730通り

4. 350通り

5. 100通り

6. (1) 126通り

(2) 20通り