A君とB君が5回じゃんけんをして、A君が3回勝つ確率を求める問題です。ただし、引き分けも1回のじゃんけんに含めます。

1. 問題の内容

A君とB君が5回じゃんけんをして、A君が3回勝つ確率を求める問題です。ただし、引き分けも1回のじゃんけんに含めます。

2. 解き方の手順

まず、1回のじゃんけんでA君が勝つ確率を考えます。

じゃんけんの手はグー、チョキ、パーの3種類あり、A君が勝つのは相手が異なる手を出す場合です。

例えば、A君がグーを出した場合、B君がチョキを出せばA君の勝ちです。

同様に、A君がチョキならB君がパー、A君がパーならB君がグーでA君が勝ちます。

したがって、A君が1回のじゃんけんで勝つ確率は $\frac{1}{3}$ です。

A君が1回のじゃんけんで負ける確率も $\frac{1}{3}$ です。

そして、引き分けになる確率は $\frac{1}{3}$ です。

ここでは、A君が勝つ確率を $p = \frac{1}{3}$、A君が負けるか引き分けになる確率を $q = 1 - p = \frac{2}{3}$ とします。

5回のじゃんけんでA君が3回勝つ確率を求めるので、これは二項分布の問題として考えることができます。

二項分布の確率質量関数は次のようになります。

$P(X=k) = {}_n C_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

ここで、$n$ は試行回数、$k$ は成功回数、$p$ は成功確率、$q$ は失敗確率です。

この問題では、$n=5$, $k=3$, $p=\frac{1}{3}$, $q=\frac{2}{3}$ です。

したがって、A君が3回勝つ確率は、

$P(X=3) = {}_5 C_3 \cdot (\frac{1}{3})^3 \cdot (\frac{2}{3})^{5-3}$

$= {}_5 C_3 \cdot (\frac{1}{3})^3 \cdot (\frac{2}{3})^2$

${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$P(X=3) = 10 \cdot (\frac{1}{27}) \cdot (\frac{4}{9})$

$= 10 \cdot \frac{4}{243}$

$= \frac{40}{243}$

3. 最終的な答え

$\frac{40}{243}$