2本の当たりくじを含む6本のくじがあるとき、一度に2本のくじを引く際に含まれる当たりくじの本数の期待値を計算する。

1. 問題の内容

2本の当たりくじを含む6本のくじがあるとき、一度に2本のくじを引く際に含まれる当たりくじの本数の期待値を計算する。

2. 解き方の手順

まず、6本のくじから2本を引く組み合わせの総数 ${}_6C_2$ を計算する。

次に、当たりくじの本数が0本, 1本, 2本となる確率 $P_0, P_1, P_2$ をそれぞれ計算する。

最後に、期待値 $0 \times P_0 + 1 \times P_1 + 2 \times P_2$ を計算する。

まず、${}_6C_2$ を計算する。

${}_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

次に、それぞれの確率を計算する。当たりくじが2本、外れくじが4本である。

$P_0$: 2本とも外れくじを引く確率。外れくじ4本から2本を選ぶ組み合わせは ${}_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ なので、

$P_0 = \frac{{}_4C_2}{{}_6C_2} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

$P_1$: 当たりくじ1本と外れくじ1本を引く確率。当たりくじ2本から1本選ぶ組み合わせは ${}_2C_1 = 2$、外れくじ4本から1本選ぶ組み合わせは ${}_4C_1 = 4$ なので、

$P_1 = \frac{{}_2C_1 \times {}_4C_1}{{}_6C_2} = \frac{2 \times 4}{15} = \frac{8}{15}$

$P_2$: 2本とも当たりくじを引く確率。当たりくじ2本から2本選ぶ組み合わせは ${}_2C_2 = 1$ なので、

$P_2 = \frac{{}_2C_2}{{}_6C_2} = \frac{1}{15}$

したがって、求める期待値は、

$0 \times P_0 + 1 \times P_1 + 2 \times P_2 = 0 \times \frac{6}{15} + 1 \times \frac{8}{15} + 2 \times \frac{1}{15} = 0 + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

${}_6C_2 = 15$

$P_0 = \frac{6}{15}$

$P_1 = \frac{8}{15}$

$P_2 = \frac{1}{15}$

$0 \times P_0 + 1 \times P_1 + 2 \times P_2 = \frac{2}{3}$

期待値は $\frac{2}{3}$ 本