袋の中に赤球3個と白球2個、合計5個の球が入っている。この袋から一度に2個の球を取り出す。 (1) 取り出した球に含まれる赤球の個数の期待値を求める。 (2) 取り出した球に含まれる白球の個数の期待値を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤球3個と白球2個、合計5個の球が入っている。この袋から一度に2個の球を取り出す。

(1) 取り出した球に含まれる赤球の個数の期待値を求める。

(2) 取り出した球に含まれる白球の個数の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 赤球の個数の期待値

まず、2個の球を取り出す方法の総数を求める。これは、5個から2個を選ぶ組み合わせなので、

$_{5}C_{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

次に、取り出した球に含まれる赤球の個数ごとに確率を計算する。

* 赤球が0個の場合：白球2個を取り出す。$_{2}C_{2} = 1$通り。確率は$\frac{1}{10}$。

* 赤球が1個の場合：赤球1個と白球1個を取り出す。$_{3}C_{1} \times _{2}C_{1} = 3 \times 2 = 6$通り。確率は$\frac{6}{10}$。

* 赤球が2個の場合：赤球2個を取り出す。$_{3}C_{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り。確率は$\frac{3}{10}$。

したがって、赤球の個数の期待値は、

$E(赤球) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10} = 0 + \frac{6}{10} + \frac{6}{10} = \frac{12}{10} = 1.2$

(2) 白球の個数の期待値

同様に、取り出した球に含まれる白球の個数ごとに確率を計算する。

* 白球が0個の場合：赤球2個を取り出す。$_{3}C_{2} = 3$通り。確率は$\frac{3}{10}$。

* 白球が1個の場合：赤球1個と白球1個を取り出す。$_{3}C_{1} \times _{2}C_{1} = 3 \times 2 = 6$通り。確率は$\frac{6}{10}$。

* 白球が2個の場合：白球2個を取り出す。$_{2}C_{2} = 1$通り。確率は$\frac{1}{10}$。

したがって、白球の個数の期待値は、

$E(白球) = 0 \times \frac{3}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{1}{10} = 0 + \frac{6}{10} + \frac{2}{10} = \frac{8}{10} = 0.8$

3. 最終的な答え

(1) 取り出した球に含まれる赤球の個数の期待値: 1.2個

(2) 取り出した球に含まれる白球の個数の期待値: 0.8個