5人の大人と4人の子供から3人を選ぶ問題です。 (オ) 3人とも大人である選び方は何通りあるかを求めます。 (カ) 選んだ3人に大人も子供も含まれる選び方は何通りあるかを求めます。

1. 問題の内容

5人の大人と4人の子供から3人を選ぶ問題です。

(オ) 3人とも大人である選び方は何通りあるかを求めます。

(カ) 選んだ3人に大人も子供も含まれる選び方は何通りあるかを求めます。

2. 解き方の手順

(オ) 3人とも大人である選び方

5人の大人から3人を選ぶ組み合わせの数を求めます。

これは組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できます。

$_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通り

(カ) 選んだ3人に大人も子供も含まれる選び方

3人の選び方の総数から、3人とも大人である選び方を除けばよいです。

3人の選び方の総数は、9人(大人5人 + 子供4人)から3人を選ぶ組み合わせなので $_9C_3$ で計算できます。

$_9C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{3 \times 2 \times 1 \times 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$ 通り

3人とも子供である選び方は $_4C_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3!}{3!} = 4$ 通り

選んだ3人に大人も子供も含まれる選び方は、総数から3人とも大人である選び方と3人とも子供である選び方を引きます。

$84 - 10 - 4 = 70$ 通り

あるいは、

(大人1人, 子供2人), (大人2人, 子供1人)の選び方をそれぞれ計算して足し合わせる方法でも計算できます。

(大人1人, 子供2人)の選び方: $_5C_1 \times _4C_2 = 5 \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 5 \times 6 = 30$ 通り

(大人2人, 子供1人)の選び方: $_5C_2 \times _4C_1 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 4 = 10 \times 4 = 40$ 通り

合計すると $30 + 40 = 70$ 通り

3. 最終的な答え

(オ) 10通り

(カ) 70通り