AとBの2チームが試合を行い、1回の試合でAが勝つ確率は $1/3$、Bが勝つ確率は $2/3$ である。先に2勝した方が優勝するとき、Aが優勝する確率を求める。

## 問題92

1. 問題の内容

AとBの2チームが試合を行い、1回の試合でAが勝つ確率は $1/3$、Bが勝つ確率は $2/3$ である。先に2勝した方が優勝するとき、Aが優勝する確率を求める。

2. 解き方の手順

Aが優勝するのは、以下の3つのケースが考えられる。

(i) Aが2連勝する。

(ii) Aが1勝1敗し、その後Aが勝つ。

(iii) Aが1敗1勝し、その後Aが勝つ。

(i) Aが2連勝する確率は、

$P(AA) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

(ii) Aが1勝1敗し、その後Aが勝つ確率は、

$P(ABA) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$

(iii) Aが1敗1勝し、その後Aが勝つ確率は、

$P(BAA) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$

したがって、Aが優勝する確率は、これらの確率の和である。

$\frac{1}{9} + \frac{2}{27} + \frac{2}{27} = \frac{3}{27} + \frac{2}{27} + \frac{2}{27} = \frac{7}{27}$

3. 最終的な答え

Aが優勝する確率は $\frac{7}{27}$ である。